Funzioni definitivamente non nulle e limiti finiti non nulli

[Riccardo Desimini]

Ho una domanda a cui non riesco a dar risposta.

Se io ho
\[ \lim_{x \to x_0} \frac{f(x)}{g(x)} = l \in \mathbb{R} \setminus \lbrace 0 \rbrace \]
è necessario che sia \( f \) che \( g \) siano definitivamente non nulle intorno a \( x_0 \)? O basta che sia solo \( g \) a esser definitivamente non nulla intorno a \( x_0 \)?

[Seneca1]

Se $f$ fosse identicamente nulla in un intorno di $x_0$, esisterebbe un intervallo che contiene $x_0$ in cui
\[ \frac{f(x)}{g(x)} \equiv 0 \]
e il limite sarebbe $0$.

[Riccardo Desimini]

Ma allora dire che una funzione è definitivamente non nulla intorno a \( x_0 \) è come dire che una funzione non è identicamente nulla in un intorno di \( x_0 \)?

Se è così, mi hai dato la risposta che cercavo.

In ogni caso grazie, Seneca.

[Seneca1]

Figurati.

In realtà non avevo mai sentito l'espressione "definitivamente non nulla intorno a un punto". Non mi vengono in mente altre interpretazioni se non quella che ho scritto sopra.

[Riccardo Desimini]

Se hai \( f : I \subseteq \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \) e \( x_0 \in \overline{\mathbb{R}} \) è di accumulazione per \( I \), allora una proprietà \( \mathcal{P} \) riguardante \( f \) è soddisfatta definitivamente intorno a \( x_0 \) se esiste un intorno \( I(x_0) \) di \( x_0 \) tale per cui \( \mathcal{P} \) è verificata \( \forall x \in I(x_0) \cap I \setminus \lbrace x_0 \rbrace \).

Alla luce di questa definizione, vale ancora quello che mi hai scritto?