Funzioni definite a tratti e loro primittive

[salvozungri]

Ciao a tutti, è da un po' che non mi faccio vivo e per questo mi spiace
Oggi un mio amico mi ha portato un esercizio che non riusciva a risolvere, lo trascrivo:

Determinare la primitiva che si annulla nel punto $x=-1$ della funzione $f:[-1,1]\to\mathbb{R}$ definita da:
$f(x)={ ( x " se " x>0),( 1-x " se "x<=0 ):}$
(la funzione non era questa , era un po' più elaborata ma per la domanda che porrò va benissimo).
Gli ho spiegato che praticamente doveva determinare la famiglia delle primitive integrando la funzione, porgendo attenzione ai vari casi:

$F(x)={ ( (x^2)/2 +c" se " 0c= 3/2$.

Dunque la primitiva che soddisfa le condizioni del problema è $F(x)={ ( (x^2)/2 +3/2" se " 0
$F(x)={ ( (x^2)/2 +c_1" se " 0)
Imponendo la condizione $F(-1)=0$ ottengo che $c_2=3/2$ mentre $c_1$ rimane un parametro libero, ottenendo quindi una famiglia di primitive e non la primitiva come l'esercizio chiedeva. A questo punto mi sorge il dubbio: Ho cannato l'esercizio la prima o la seconda volta, oppure la traccia del problema è ambigua?

Vi ringrazio

[dissonance]

Sai qual è il problema? La tua $f$ ha un salto in $0$. Ora un teorema classico dice che una derivata non può avere salti: di conseguenza ogni primitiva della $f$ non sarà una "vera" primitiva perché non sarà mai derivabile in $0$. (In casi come questo, alcuni parlano di primitiva generalizzata). Ecco spiegato il fenomeno, apparentemente strano, di una intera famiglia di primitive che si annullano in un punto: sarebbe errato se fossero vere primitive, ma sono solo primitive generalizzate.

SE&O

[edit]Avevo scritto "primitiva di $F$" invece di "primitiva di $f$". Mi pareva strano non avere fatto errori...

[salvozungri]

Ok, mi sa che devo riprendere in mano il libro di analisi. Ogni tanto sfogliarlo fa bene, grazie dissonance, come al solito sei davvero illuminante! (ed io così pollo )

[edit OT]Che significa SE&O?
[edit2] Ho scoperto che significa

[Fioravante Patrone1]

"Mathematico":
Dunque la primitiva che soddisfa le condizioni del problema è $F(x)={ ( (x^2)/2 +3/2" se " 0 Tornato a casa, ho iniziato a scarabocchiare su un foglio. Rifaccio l'esercizio e istintivamente scrivo:

$F(x)={ ( (x^2)/2 +c_1" se " 0)

In effetti si vede a occhio che le primitive tali non sono in quanto non sono derivabili in 0 (comunque siano le costanti, persino se fanno le napoletane(*))

A dissonance, non mi è chiaro cosa tu intenda per primitiva "generalizzata".



[size=92](*) Si può dire. Cfr. Cassazione, quinta sezione penale.[/size]

[dissonance]

Intendo una funzione $F$ tale che $F'=f$ tranne al più in un numero finito di punti. Ho letto questo termine su una dispensa di un mio professore, Lorenzo Pisani: qui, §1.4 pagina 7.

[Fioravante Patrone1]

"dissonance":Intendo una funzione $F$ tale che $F'=f$ tranne al più in un numero finito di punti. Ho letto questo termine su una dispensa di un mio professore, Lorenzo Pisani: qui, §1.4 pagina 7.

Visto, grazie.