Funzioni definite a tratti: derivata e dominio di questa
Ciao a tutti!
Il mio problema è il seguente: studiando la derivabilità di una funzione, mi sono sorti dubbi circa il dominio della derivata di una funzione definita a tratti. Proverò a spiegarmi meglio. Considero la funzione:
(x^2)sin(1/x) x>0
x^2 x<=0
Il dominio di una funzione definita a tratti lo si ottiene "mettendo insieme" gli intervalli in cui le singole leggi sono definite.
In questo caso è l'asse reale R ( anche se il dominio della prima legge in effetti sarebbe (-oo,0)U(o,+oo) ma noi lo consideriamo solo da (0,+oo) e quello della seconda legge è (-oo,+oo) che però consideriamo da (-oo,0] ).
Ma non necessariamente il dominio di una funzione definita a tratti deve essere l'asse reale, vero? E l'uguale non deve appartenere, quindi, necessariamente alla legge di destra, giusto?
Ora, mi calcolo la derivata.
(2x)(sin(1/x))-(cos(1/x)) x>0
2x x<=0
Ora, osservo che ho preso per entrambe le leggi della mia derivata esattamente gli stessi intervalli di definizione della funzione di partenza diciamo.
Ho
Il mio problema è il seguente: studiando la derivabilità di una funzione, mi sono sorti dubbi circa il dominio della derivata di una funzione definita a tratti. Proverò a spiegarmi meglio. Considero la funzione:
(x^2)sin(1/x) x>0
x^2 x<=0
Il dominio di una funzione definita a tratti lo si ottiene "mettendo insieme" gli intervalli in cui le singole leggi sono definite.
In questo caso è l'asse reale R ( anche se il dominio della prima legge in effetti sarebbe (-oo,0)U(o,+oo) ma noi lo consideriamo solo da (0,+oo) e quello della seconda legge è (-oo,+oo) che però consideriamo da (-oo,0] ).
Ma non necessariamente il dominio di una funzione definita a tratti deve essere l'asse reale, vero? E l'uguale non deve appartenere, quindi, necessariamente alla legge di destra, giusto?
Ora, mi calcolo la derivata.
(2x)(sin(1/x))-(cos(1/x)) x>0
2x x<=0
Ora, osservo che ho preso per entrambe le leggi della mia derivata esattamente gli stessi intervalli di definizione della funzione di partenza diciamo.
Ho
Risposte
Mo, se avessi preso un'altra funzione, ad esempio:
x^(1/2) x>=0
x^2 x<0
calcolo la derivata:
(1/2)*(x^(-1/2))
2x
Per quanto riguarda gli intervalli di definizione delle singole leggi della funzione derivata, quali devono essere questi? E' giusto prendere per la prima x>0 ( togliendo l'uguale visto che la prima legge non è definita in 0) e per la seconda x<0? Su quale criterio devo stabilire il dominio della derivata dunque? O devo riconsiderare gli stessi intervalli che f(x)?
x^(1/2) x>=0
x^2 x<0
calcolo la derivata:
(1/2)*(x^(-1/2))
2x
Per quanto riguarda gli intervalli di definizione delle singole leggi della funzione derivata, quali devono essere questi? E' giusto prendere per la prima x>0 ( togliendo l'uguale visto che la prima legge non è definita in 0) e per la seconda x<0? Su quale criterio devo stabilire il dominio della derivata dunque? O devo riconsiderare gli stessi intervalli che f(x)?
Non ho capito bene il tuo problema. Comunque se hai una funzione definita a tratti, la quale vale $f(x)$ per $x > 0$ e $g(x)$ per $x <= 0$ , in linea di principio devi appena studiare la continuità e la derivabilità nel punto patologico (che è quello di raccordo, nel nostro esempio lo $0$ ).
Ti aiuta in questo il teorema di Darboux: http://www.matematicamente.it/forum/continuita-derivabilita-t50658.html#366811
Ti aiuta in questo il teorema di Darboux: http://www.matematicamente.it/forum/continuita-derivabilita-t50658.html#366811
Il mio problema non è il fatto di calcolare la derivabilità della funzione definita a tratti, bensì una volta che mi sono calcolata la derivata della funzione, su che intervalli devo considerare i rami della funzione...
Intendi su che intervalli debba considerarsi la derivata?
Esattamente sì, che alla fine sarebbe il dominio della derivata no?
"bambolettaokkiverdi":
Esattamente sì, che alla fine sarebbe il dominio della derivata no?
Se hai la funzione $f$ così definita:
$x^2 + 1$ per $x > 0$
$e^x$ per $x <= 0$
La derivata è :
$2 x$ per $x > 0$
$e^x$ per $x < 0$ (nota che ho escluso l'estremo)
Nel punto di raccordo dei due rami, $x = 0$, come ti dicevo, non puoi dedurre nulla a priori.
Quindi, in generale, devi tenere conto della derivata di ogni ramo in ciascun intervallo, con particolare attenzione agli estremi dell'intervallo (che è quello che ti spiegavo anche prima).
Nel primo esempio che ho fatto, la prof ha incluso anche l'= nel dominio della derivata... A me è sembrato naturale escluderlo nel secondo esempio solo perchè al denominatore la x deve essere != a zero
(2x)(sin(1/x))-(cos(1/x)) x>0
2x x<=0
Ti riferisci a questa derivata? Secondo me la derivata è $2x$ per $x < 0$.
Per metterci quell'uguale dovresti ricorrere al teorema di Darboux che ti ho segnalato qualche post fa.
Io pensavo dovessi calcolare il dominio di ogni singola legge della derivata f'(x) e confrontarlo con gli intervalli delle leggi di f(x) e vedere se poter prendere l'intervallo con l'= o no ecc ecc... comunque mi riferivo alla seconda funzione che ho scritto. e poi ho confusione a riguardo di queste piecewises in generale... avevo letto nella rete che questo tipo di funzioni hanno sempre come dominio l'intero asse reale... possibile?
Nell'esempio che ti ho fatto prima, $x^2 + 1$ e $e^x$ sono funzioni bellissime. Definite su $RR$ ed ivi derivabili. Ti si chiede di considerarle solo per certi intervalli. In particolare in $(0,+oo)$ devi prendere $x^2 + 1$ e in $(-oo , 0]$ l'esponenziale.
In prima battuta controlli se in $0$ la funzione definita a tratti è continua (se non lo è, non avrebbe neanche senso parlare di derivabilità). In $0$ le funzioni si raccordano, infatti:
$lim_(x -> 0^+) x^2 + 1 = lim_(x -> 0^-) e^x = 1$
Quindi ha senso domandarsi se sono derivabili.
$lim_(h -> 0^+) (f(0) - f(0+h))/h = lim_(h -> 0^+) (1 - h^2 + 1)/h = lim_(h -> 0^+) h = 0$
$lim_(h -> 0^-) (f(0) - f(0-h))/h = lim_(h -> 0^+) (1 - e^(-h))/h = 1$
Da questo si vede come, nonostante $e^x$ e $x^2 + 1$ siano funzioni derivabili quante volte si vuole su $RR$, la funzione definita a tratti non è derivabile nello $0$ perché il limite del rapporto incrementale destro non coincide con il limite del rapporto incrementale sinistro. In particolare la funzione def. a tratti avrà un punto angoloso in $0$ e dal dominio della derivata lo $0$ dovrà essere escluso.
In prima battuta controlli se in $0$ la funzione definita a tratti è continua (se non lo è, non avrebbe neanche senso parlare di derivabilità). In $0$ le funzioni si raccordano, infatti:
$lim_(x -> 0^+) x^2 + 1 = lim_(x -> 0^-) e^x = 1$
Quindi ha senso domandarsi se sono derivabili.
$lim_(h -> 0^+) (f(0) - f(0+h))/h = lim_(h -> 0^+) (1 - h^2 + 1)/h = lim_(h -> 0^+) h = 0$
$lim_(h -> 0^-) (f(0) - f(0-h))/h = lim_(h -> 0^+) (1 - e^(-h))/h = 1$
Da questo si vede come, nonostante $e^x$ e $x^2 + 1$ siano funzioni derivabili quante volte si vuole su $RR$, la funzione definita a tratti non è derivabile nello $0$ perché il limite del rapporto incrementale destro non coincide con il limite del rapporto incrementale sinistro. In particolare la funzione def. a tratti avrà un punto angoloso in $0$ e dal dominio della derivata lo $0$ dovrà essere escluso.
Riguardo all'esempio che invece hai proposto tu, in cui compare la $x^(1/2)$, naturalmente la funzione non può essere derivabile in zero perché $x^(1/2)$ ha - come si dice - derivata infinita in $0$.
Quindi là dove la funzione presenta un punto di discontinuità, la derivata non sarà definita. Ho capito bene? Scusami se ribatto, ma voglio essere sicura visto che sono da 1 settimana che ci ragiono. Grazie milleeeeeeee
Dipende dove sta il punto di discontinuità e di che natura è. 
Prendi per esempio la funzione definita così:
$|x|/x$ per $x > 0$
$1$ per $x <= 0$
La funzione $|x|/x$ ha un salto in $0$ (è la funzione che vale $1$ sui positivi e $0$ sui negativi) , eppure la funzione definita a tratti è continua e addirittura derivabile su $RR$: si tratta della funzione costante $1$.
Prendi per esempio la funzione definita così:
$|x|/x$ per $x > 0$
$1$ per $x <= 0$
La funzione $|x|/x$ ha un salto in $0$ (è la funzione che vale $1$ sui positivi e $0$ sui negativi) , eppure la funzione definita a tratti è continua e addirittura derivabile su $RR$: si tratta della funzione costante $1$.
Ho sbagliato, scusami, volevo dire punto di non derivabilità. Quindi, riassumento. MI assicuro che la mia funzione f(x) sia continua ( perchè altrimenti non avrebbe senso parlare di derivabilità ). Se lo è, calcolo la derivata della funzione escludendo dal dominio o comunque dall'intervallo di definizione gli estremi e negli estremi mi vado a vedere facendo il lim del rapporto incrementale ecc ecc se è derivabile o no f(x) in quel punto. Se lo è, posso includere con l'= il punto nell'intervallo di definizione della derivata. Giusto?
Dovrebbe essere giusto. Io ti invito a leggere il teorema di Darboux (corollario del teo. di Lagrange) che secondo me è abbastanza comodo per studiare queste situazioni.
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo