Funzioni crescenti,

[galles90]

Buongiorno amici,
ho la seguente proposizione sul mio libro, dove non riporta la dimostrazione, segue:

Una funzione \(\displaystyle f: \mathbb{N} \to \mathbb{R} \) è crescente se e solo se :

\(\displaystyle \forall n, f(n)

Adesso riporto la mia dimostrazione :

La dimostrazione si divide in due parti

1) Ipotesi che \(\displaystyle f \) è crescente allora \(\displaystyle n
2) Ipotesi che \(\displaystyle f(n)
quindi sia:

\(\displaystyle f:\mathbb{N} \to \mathbb{R}\)

si ha:

\(\displaystyle n \in \mathbb{N}\to f(n) \)

\(\displaystyle n+1 \in \mathbb{N}\to f(n+1) \)

considero un insieme \(\displaystyle A \) tale che \(\displaystyle A\subset \mathbb{N} \),

\(\displaystyle A=( n\in \mathbb{N}: n,n+1,...,+\infty) \)

per il principio del minimo intero l'insieme \(\displaystyle A \) ha minimo, ne segue \(\displaystyle n
Fine della dimostrazione.

Vi chiedo è giusta la mia dimostrazione che ho riportato.

Grazie

[dissonance]

Ma che giusta, rileggiti:

Dobbiamo far vedere che \(n
NO! Questo è ovvio. Non è questo che devi dimostrare: devi dimostrare che :

**ASSUMENDO** che per ogni \(n\in \mathbb N\) si ha \(f(n)
**SI ARRIVA A DIMOSTRARE CHE** per ogni \(n, m\in \mathbb N\) con \(n

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[galles90]

Ciao,

ho trovato una dimostrazione di cui non mi sono chiari alcuni passaggi, la dimostrazione è la seguente:

Ricapitolando la parte che bisogna verificare è:

Ipotesi

\(\displaystyle \forall n \), \(\displaystyle f(n)
Tesi

\(\displaystyle \forall n,m \in \mathbb{N} [n

Dimostrazione

Supponiamo che la funzione non sia crescente, allora

\(\displaystyle \exists a,b : [ a
questo implica che l'insieme \(\displaystyle A= k\in \mathbb{N} : k>a, f(a) \ge f(k) \) non vuoto, pertanto ha un elemento minimo, tale che sia \(\displaystyle k_0=minA \).

Ne segue che : \(\displaystyle k_0>a \) e \(\displaystyle f(a)\ge f(k_0) \). Fin qui tutto bene.

Osserviamo che non può essere \(\displaystyle k_0=a+1 \), perché per l'ipotesi è \(\displaystyle f(a) Qui mi sorge il dubbio: se abbiamo supposto che la nostra funzione sia non crescente, quindi deve risultare
1) \(\displaystyle a+1>a \ f(a)\ge f(a+1) \) quindi non crescente, allora andrebbe bene.

continua

posto \(\displaystyle h=k_0-1 \) abbiamo allora \(\displaystyle h>a \).
Qui mi sorge il secondo dubbio: cioè come è possibile che esista un elemento più piccolo del minimo, che sia maggiore di un elemento dell'insieme \(\displaystyle A \), continua

inoltre \(\displaystyle f(k_0)=f(h+1)>f(h) \) \), quindi per la proprietà transitiva \(\displaystyle f(a)\ge f(k) \).
Ma allora \(\displaystyle h\in A \), assurdo perché \(\displaystyle h=k_0-1
Fine.

Diciamo che i seguenti dubbi, sono delle incertezze perché ad esempio per il primo mi viene da pensare anche:

considerando l'ipotesi che \(\displaystyle \forall n \), si ha \(\displaystyle f(n)

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[dissonance]

Secondo me ti perdi in tutti questi simboli logici. Prova a fare le cose in modo più intuitivo. Devi dimostrare che per ogni \(n,m\in\mathbb N\) con \(m>n\) si ha \(f(m)>f(n)\). Ora la condizione \(m>n\) si può riscrivere equivalentemente come \(m=n+h\) con \(h>0\). Si tratta quindi di dimostrare che
\[
f(n+h)>f(n).\]
E questo è vero perché
\[
f(n+h)>f(n+h-1)>\ldots > f(n+1)>f(n).\]

[galles90]

Ciao, grazie.

Ma il fatto che si deve verificare:

\(\displaystyle \forall m,n \in \mathbb{N} \) , si ha \(\displaystyle f(m)n \), si ha dalla definizione di funzione crescente ?

[dissonance]

Al contrario: devi verificare che \[n

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[galles90]

Ops mi sono confuso

Ti voglio chiede un'ultima cosa, ma per le dimostrazione come bisogna procedere per non cadere in circolo vizioso...
So che è una cosa un po' delicata, ma penso che sia un metodo.

Ciao