Funzioni costanti, differenziabilità, controesempio

[Mino_01]

Buona sera.
Sia $ Dsube R^m $ sottoinsieme dello spazio metrico euclideo di ordine m, $ f:Drarr R $.
Nelle ipotesi:
$D$ è un aperto;
$D$ è connesso;
$f(x)$ è in $D$ differenziabile
$df(x)=0 $ in tutto $D$
si dimostra che allora : $ f(x)=c $ (costante) per tutti i punti di $D$.

Ma
Se valessero soltanto le ipotesi:
$D$ è connesso;
$f(x)$ è in $D$ differenziabile;
$df(x)=0 $ in tutto $D$;
Si riesce a trovare una funzione non costante in $D$ ?

Non ricordo dove ho letto che è possibile costruire una tale funzione.
Avete idea come ciò possa essere fatto, un sito...
Grazie a tutti
saluti
Mino

[Luca.Lussardi]

Il problema è che devi dire cosa vuol dire che $f$ è differenziabile in $D$ quando $D$ non è aperto; o meglio, dire cosa vuol dire che $f$ è differenziabile in un punto non interno a $D$.

[gugo82]

In una variabile, se avevi \(f^\prime (x)=0\) in \(]a,b[\) ed \(f\) continua in \([a,b]\) allora \(f(x)=\text{cost.}\) in \([a,b]\).

Tuttavia in più variabili ciò non succede.
Ad esempio, prendi come \(D\) la palla unitaria chiusa cui è unito il segmento d'estremi \((1,0)\) e \((2,0)\).
La funzione:
\[
f(x,y):= \begin{cases} 0 &\text{, se } x^2+y^2\leq 1\\
x-1 &\text{, se } 1\leq x\leq 2
\end{cases}
\]
è continua in \(D\), derivabile internamente a \(D\) ed ha differenziale nullo; però essa si guarda bene dall'essere costante in \(D\).

[Mino_01]

"Luca.Lussardi":Il problema è che devi dire cosa vuol dire che $f$ è differenziabile in $D$ quando $D$ non è aperto; o meglio, dire cosa vuol dire che $f$ è differenziabile in un punto non interno a $D$.

Buon di
Grazie per l' attenzione.

Se A è un aperto che contiene D.

La f è differenziabile in D se:
esiste una funzione definita in A;
differenziabile;
ha f come restrizione a D;

Cordiali saluti