Funzioni convesse, funzioni affini
Io non riesco a capire alcune cose che il mio prof ha spiegato risolvendo questo esercizio(riporterò la soluzione data):
Sia $E={-2, -1,0,1,2}$ e sia
$f(x) ="sup"{2ax – a^2}$
1. Dimostrare che f è convessa.
Prima di tutto non penso di capire cosa significhi che $f(x)$ sia l'estremo superiore di un insieme di rette (funzioni affini hanno come grafico una retta). Come può l'estremo superiore essere esso stesso una funzione?
Il prof ha poi usato la def. di convessità, definendo per comodità $2ax-a^2 = f_a(x)$. Dunque:
$f(tx_0+(1-t)x_1) <= tf(x-0)+(1-t)*f(x_1)$ e quindi
$f_a(tx_0+(1-t)*x_1 = tf_a(x_0)+(1-t)*fa(x_1)$, dove per def. di estremo superiore segue che $f_a(x_0)<=f(x_0) e f_a(x_1)<=f(x_1)$ e quindi in conclusione:
$"sup"{f_a(x)} <= tf(x_0)+(1-t)*f(x_1) , a \in E$ , dove suppongo che il prof abbia usato che per def. il $"sup"$ è uguale al minimo dei maggioranti di $f$.
Qualcuno mi potrebbe spiegare perché nella prima equazione c'è $=$ e non $<=$, come nella definizione di convessità e sopratutto qual è il significato (cito il prof) della frase "il $"sup"$ di funzioni affini è convessa e l'$"inf"$ è concava". Aggiungo che il prof ha nominato qualcosa come inviluppo superiore (non so se sia questo il termine giusto siccome il prof l'ha tirato in ballo dal nulla senza dire cosa fosse). Ho le idee molto confuse riguardo l'esercizio per favore qualcuno mi aiuti
Sia $E={-2, -1,0,1,2}$ e sia
$f(x) ="sup"{2ax – a^2}$
1. Dimostrare che f è convessa.
Prima di tutto non penso di capire cosa significhi che $f(x)$ sia l'estremo superiore di un insieme di rette (funzioni affini hanno come grafico una retta). Come può l'estremo superiore essere esso stesso una funzione?
Il prof ha poi usato la def. di convessità, definendo per comodità $2ax-a^2 = f_a(x)$. Dunque:
$f(tx_0+(1-t)x_1) <= tf(x-0)+(1-t)*f(x_1)$ e quindi
$f_a(tx_0+(1-t)*x_1 = tf_a(x_0)+(1-t)*fa(x_1)$, dove per def. di estremo superiore segue che $f_a(x_0)<=f(x_0) e f_a(x_1)<=f(x_1)$ e quindi in conclusione:
$"sup"{f_a(x)} <= tf(x_0)+(1-t)*f(x_1) , a \in E$ , dove suppongo che il prof abbia usato che per def. il $"sup"$ è uguale al minimo dei maggioranti di $f$.
Qualcuno mi potrebbe spiegare perché nella prima equazione c'è $=$ e non $<=$, come nella definizione di convessità e sopratutto qual è il significato (cito il prof) della frase "il $"sup"$ di funzioni affini è convessa e l'$"inf"$ è concava". Aggiungo che il prof ha nominato qualcosa come inviluppo superiore (non so se sia questo il termine giusto siccome il prof l'ha tirato in ballo dal nulla senza dire cosa fosse). Ho le idee molto confuse riguardo l'esercizio per favore qualcuno mi aiuti
Risposte
"SteezyMenchi":
Io non riesco a capire alcune cose che il mio prof ha spiegato risolvendo questo esercizio(riporterò la soluzione data):
Sia $E={-2, -1,0,1,2}$ e sia
$f(x) ="sup"{2ax – a^2}$
1. Dimostrare che f è convessa.
$E$ cosa fa?
$a \in E$
"SteezyMenchi":
Io non riesco a capire alcune cose che il mio prof ha spiegato risolvendo questo esercizio(riporterò la soluzione data):
Sia $E={-2, -1,0,1,2}$ e sia
$f(x) ="sup"{2ax – a^2}$
1. Dimostrare che f è convessa.
Prima di tutto non penso di capire cosa significhi che $f(x)$ sia l'estremo superiore di un insieme di rette (funzioni affini hanno come grafico una retta). Come può l'estremo superiore essere esso stesso una funzione?
Più tardi hai detto che $a \in E$. Per ogni $x$, scegli il più grande fra 5 possibili valori di $f(x)$, no?
quindi prendo la retta con coefficiente angolare positivo maggiore(pensavo fosse più complicata la cosa hahah) e quella sarebbe la mia f(x) e fino a qui ho capito. Ma poi quando dimostra che $f(x)$ è convessa mette l'uguaglianza al posto del $<=$. Sai per caso darmi una motivazione alle altre domande che ho scritto dopo, è lì che vorrei capire più a fondo sopratutto l'ultima frase tra virgolette che ho riportato. Io ho pensato che,essendo f(x) affine, possa essere trattata come un'applicazione lineare in algebra lineare quindi $f(\alphax+\deltay)=\alphaf(x)+\deltaf(y)$ però non ne sono sicuro.
"SteezyMenchi":
quindi prendo la retta con coefficiente angolare positivo maggiore
Perché?
Puoi dirmi $f(-3)$, $f(0,5)$ e $f(10)$ per esempio?
Scusami ghira io penso di non aver proprio capito cosa significa prendere l'estremo superiore di un insieme di rette, come fai a dire che una retta è maggiore di un'altra. Se sostituisci ognuno dei valori di $a$ ottieni 5 rette che si intersecano e siccome un funzione è maggiore di un'altra quando il suo grafico sta tutto sopra il grafico della seconda non penso nessuna delle rette sia il $"sup"$ dell'insieme
"SteezyMenchi":
Scusami ghira io penso di non aver proprio capito cosa significa prendere l'estremo superiore di un insieme di rette, come fai a dire che una retta è maggiore di un'altra. Se sostituisci ognuno dei valori di $a$ ottieni 5 rette che si intersecano e siccome un funzione è maggiore di un'altra quando il suo grafico sta tutto sopra il grafico della seconda non penso nessuna delle rette sia il $"sup"$ dell'insieme
Ved il mio messaggio "03/01/2022, 19:41"
Scusa ghira ma continuo a non capire il tuo suggerimento:
$a∈E$. Per ogni $x$, scegli il più grande fra 5 possibili valori di $f(x)$
Se $x \in R$ e $a \in E$ io devo valutare 5 rette o no? Non capisco se ciò che ho scritto finora è sbagliato o meno e se è sbagliato perché lo è. Non ho una chiara idea di come si trovi il $"sup"$ di una famiglia di funzioni (siano esse rette o parabole o qualsiasi altra cosa) a meno di una via grafica.
$a∈E$. Per ogni $x$, scegli il più grande fra 5 possibili valori di $f(x)$
Se $x \in R$ e $a \in E$ io devo valutare 5 rette o no? Non capisco se ciò che ho scritto finora è sbagliato o meno e se è sbagliato perché lo è. Non ho una chiara idea di come si trovi il $"sup"$ di una famiglia di funzioni (siano esse rette o parabole o qualsiasi altra cosa) a meno di una via grafica.
"SteezyMenchi":
Se $x \in R$ e $a \in E$ io devo valutare 5 rette o no?
No. Per un dato valore di $x$ valuti 5 numeri reali e prendi il maggiore.
Ammettiamo che abbia scelto $x=2$ e quindi il valore maggiore lo ho per $a=2$. Quindi dovrei dimostrare la convessità di $f(x)=4x-4$. Ma allora perché il prof ha inizialmente completamente ignorato il fatto che $a$ variasse in $E$ e che $f(x)$ fosse il sup di quell'insieme e ha fatto una dimostrazione senza fare praticamente nessun calcolo numerico. Mi sto confondendo sempre di più, ottimo direi. Mi arrendo Ghira, grazie comunque per aver tentato di aiutarmi
"SteezyMenchi":
Ammettiamo che abbia scelto $x=2$ e quindi il valore maggiore lo ho per $a=2$. Quindi dovrei dimostrare la convessità di $f(x)=4x-4$.
No. Devi scegliere il valore migliore per ciascun valore di $x$ per ottenere la tua $f$. Usi valori di $a$ diversi secondo il valore di $x$.
"SteezyMenchi":
Scusami ghira io penso di non aver proprio capito cosa significa prendere l'estremo superiore di un insieme di rette
Hai frainteso completamente l'esercizio. Ricomincia dall'inizio.
"SteezyMenchi":
Io non riesco a capire alcune cose che il mio prof ha spiegato risolvendo questo esercizio(riporterò la soluzione data):
Sia $E={-2, -1,0,1,2}$ e sia
$f(x) ="sup"_(a in E) 2ax – a^2$
1. Dimostrare che f è convessa.
Prima di tutto non penso di capire cosa significhi che $f(x)$ sia l'estremo superiore di un insieme di rette (funzioni affini hanno come grafico una retta). Come può l'estremo superiore essere esso stesso una funzione?
Te l'ha spiegato già ghira... Ma comunque: quando non capisci con cosa hai a che fare, disegna.
Facendo variare $a in E$ si ottengono le cinque rette disegnate sotto:
[asvg]axes("","");
stroke="grey"; strokewidth=2;
plot("-4x-4",-6,6); plot("-2x-1",-6,6); plot("0",-6,6); plot("2x-1",-6,6); plot("4x-4",-6,6);[/asvg]
per fissato $x in RR$, l'estremo superiore $"sup"_(a in E) 2ax-a^2$ è la maggiore tra le ordinate dei punti appartenenti alle rette ed aventi ascissa $x$; conseguentemente, per determinare il grafico di $f$ ti basta seguire con un tratto rosso le rette "più in alto" che compaiono nel diagramma precedente.
Il grafico di $f$ è:
[asvg]axes("","");
stroke="grey";
plot("-4x-4",-6,6); plot("-2x-1",-6,6); plot("0",-6,6); plot("2x-1",-6,6); plot("4x-4",-6,6);
stroke="red"; strokewidth=2;
plot("-4x-4",-6,-1.5); plot("-2x-1",-1.5,-0.5); plot("0",-0.5,0.5); plot("2x-1",0.5,1.5); plot("4x-4",1.5,6);[/asvg]
e si vede che $f$ è lineare a tratti e puoi pure scriverla esplicitamente con poco sforzo:
$f(x) := \{(-4x-4, ", se " x <= -3/2), (-2x-1, ", se " -3/2 <= x <= -1/2), (0, ", se " -1/2 <= x <= 1/2), (2x-1, ", se " 1/2 <= x <= 3/2), (4x-4, ", se " 3/2 <= x):}$.
"SteezyMenchi":
Il prof ha poi usato la def. di convessità, definendo per comodità $2ax-a^2 = f_a(x)$. Dunque:
$f(tx_0+(1-t)x_1) <= tf(x-0)+(1-t)*f(x_1)$ e quindi
$f_a(tx_0+(1-t)*x_1 = tf_a(x_0)+(1-t)*fa(x_1)$, dove per def. di estremo superiore segue che $f_a(x_0)<=f(x_0) e f_a(x_1)<=f(x_1)$ e quindi in conclusione:
$"sup"{f_a(x)} <= tf(x_0)+(1-t)*f(x_1) , a \in E$ , dove suppongo che il prof abbia usato che per def. il $"sup"$ è uguale al minimo dei maggioranti di $f$.
Qualcuno mi potrebbe spiegare perché nella prima equazione c'è $=$ e non $<=$, come nella definizione di convessità [...]
Come hai già notato, le $f_a(x) := 2ax-a^2$ sono affini in $x$ e, come si è già detto molte altre volte sul forum, le funzioni affini sono le uniche ad essere contemporaneamente concave e convesse; ciò implica che la disuguaglianza di convessità vale con l'$=$.
"SteezyMenchi":
[...] e sopratutto qual è il significato (cito il prof) della frase "il $"sup"$ di funzioni affini è convessa e l'$"inf"$ è concava". Aggiungo che il prof ha nominato qualcosa come inviluppo superiore (non so se sia questo il termine giusto siccome il prof l'ha tirato in ballo dal nulla senza dire cosa fosse).
Nulla... In verità è una definizione.
Si chiama inviluppo superiore di una qualsiasi famiglia di funzioni ${f_a}_(a in E)$ definite in un insieme $D$ ed a valori in $RR$[nota]In realtà andrebbe bene come codominio anche qualche insieme ordinato un po' più astratto... Basta che esista il $"sup"$.[/nota] la funzione $f:D -> RR$ che ad ogni $x in D$ associa l'estremo superiore dell'insieme numerico $\{ f_a(x)\}_(a in E) sube RR$, cioè $f(x) := "sup"_(a in E) f_a(x)$.
Lo stesso dicasi per l'inviluppo inferiore.
Vedi da te che la dimostrazione della convessità dell'inviluppo superiore data sopra non usa in alcun modo (se non incidentalmente ed in maniera non essenziale) la linearità delle $f_a$, né il fatto che la famiglia $\{f_a\}_(a in E)$ sia finita, cosicché essa vale del tutto in generale; da ciò concludi che l'inviluppo superiore di una qualsiasi famiglia di funzioni convesse è sempre una funzione convessa.
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