Funzioni convesse e subarmoniche limitate superiormente
Qualche riflessione, essenzialmente esercizietti di Analisi, che sto facendo. Chiedo aiuto, per il 2), per l'1) possiedo la (facile! do it!) soluzione.
1)Voglio provare che per una funzione $f: RR \to RR$, $f\in C^2$, non costante, si ha:
$f''\geq 0$ $=>$ $f$ non è limitata superiormente.
In realtà vale di più: vale $\lim_{x\to +\infty} f(x)=+\infty$ oppure $\lim_{x\to -\infty} f(x)=+\infty$.
2) Generalizziamo questo risultato a dimensioni superiori: l'ipotesi di convessità $f''\geq 0$ va sostituita con l'ipotesi di subarmonicità $\Delta f \geq 0$. Provare che $f$ non è limitata superiormente, con eventualmente qualche precisazione, nello spirito di 1).
Funziona per ogni dimensione?
1)Voglio provare che per una funzione $f: RR \to RR$, $f\in C^2$, non costante, si ha:
$f''\geq 0$ $=>$ $f$ non è limitata superiormente.
In realtà vale di più: vale $\lim_{x\to +\infty} f(x)=+\infty$ oppure $\lim_{x\to -\infty} f(x)=+\infty$.
2) Generalizziamo questo risultato a dimensioni superiori: l'ipotesi di convessità $f''\geq 0$ va sostituita con l'ipotesi di subarmonicità $\Delta f \geq 0$. Provare che $f$ non è limitata superiormente, con eventualmente qualche precisazione, nello spirito di 1).
Funziona per ogni dimensione?
Risposte
Purtroppo non ho moltissimo tempo, ma ci voglio provare (almeno per capire se la strada è giusta).
Per il punto 1, proverei a usare qualche fatto noto sulle funzioni convesse su $RR$: ad esempio, se $f: RR \to RR$ è convessa e $yz$. Prendendo $z$ sufficientemente grande, si dovrebbe concludere abbastanza facilmente per il teorema di confronto (o dell'unico carabiniere) 
Più o meno la strada è questa?
Per il punto 2, invece: hai provato a smanettare con i soliti attrezzi del mestiere
? Intendo: hai provato a scrivere la definizione di subarmonicità in termini integrali? Hai provato a usare qualche disuguaglianza tipo Harnack o il teorema di Liouville? E' vero che queste ultime sono proprietà specifiche delle funzioni armoniche, ma magari imitando la dimostrazione si arriva da qualche parte...
Più tardi se ho tempo ci penso con calma. Nel frattempo ti ringrazio per i problemi, ottimi spunti di riflessione!
Per il punto 1, proverei a usare qualche fatto noto sulle funzioni convesse su $RR$: ad esempio, se $f: RR \to RR$ è convessa e $y
Più o meno la strada è questa?
Per il punto 2, invece: hai provato a smanettare con i soliti attrezzi del mestiere
? Intendo: hai provato a scrivere la definizione di subarmonicità in termini integrali? Hai provato a usare qualche disuguaglianza tipo Harnack o il teorema di Liouville? E' vero che queste ultime sono proprietà specifiche delle funzioni armoniche, ma magari imitando la dimostrazione si arriva da qualche parte... Più tardi se ho tempo ci penso con calma. Nel frattempo ti ringrazio per i problemi, ottimi spunti di riflessione!
In \(\mathbb{R}^2\) è possibile provare che ogni funzione subarmonica limitata è costante (ciò si fa via il Principio del Massimo, confrontando la funzione subarmonica con una funzione armonica del tipo \(a+b \log |x|\) su ogni anello di centro l'origine): questa è una generalizzazione del classico Teorema di Liouville.
Pertanto ogni funzione subarmonica in \(\mathbb{R}^2\) o è costante oppure non è limitata superiormente.
Tuttavia in dimensione maggiore di \(2\) quanto appena detto è falso, perché è possibile produrre esempi di funzioni subarmoniche limitate.
Pertanto ogni funzione subarmonica in \(\mathbb{R}^2\) o è costante oppure non è limitata superiormente.
Tuttavia in dimensione maggiore di \(2\) quanto appena detto è falso, perché è possibile produrre esempi di funzioni subarmoniche limitate.
@Paolo: L'idea è corretta, ma va formalizzata per bene..
Avevo provato a rileggere la dimostrazione che avevo del Teorema di Liouville ma non riuscivo a generalizzarla al caso subarmonico. Avete una referenza che faccia al caso mio?
Non capisco per bene il tuo (gugo) suggerimento: puoi darmi una referenza, o qualche dettaglio?
In realtà tutto il mio ragionamento nasceva dall'aver letto su un articolo che non è possibile trovare funzioni non banali (leggi costanti) superarmoniche positive in dimensione $n\geq 3$.. Da qui tutti i miei ragionamenti. In particolare, vorrei capire dove nascono i problemi nel salire di dimensione: perciò ero partito dalle dimensioni più basse.
Lo prendo come un esercizio, non appena ho un po' di pazienza, trovo il controesempio.
Un'altra domanda. Nella mia dimostrazione del punto 1), ho utilizzato la regolarità richiesta. Proviamo a generalizzare il tutto con l'ipotesi di regolarità, e vediamo cosa otteniamo, e poi ragioniamo in senso debole (ossia parliamo di derivate distribuzionali). Se vi va!
Avevo provato a rileggere la dimostrazione che avevo del Teorema di Liouville ma non riuscivo a generalizzarla al caso subarmonico. Avete una referenza che faccia al caso mio?
Non capisco per bene il tuo (gugo) suggerimento: puoi darmi una referenza, o qualche dettaglio?
In realtà tutto il mio ragionamento nasceva dall'aver letto su un articolo che non è possibile trovare funzioni non banali (leggi costanti) superarmoniche positive in dimensione $n\geq 3$.. Da qui tutti i miei ragionamenti. In particolare, vorrei capire dove nascono i problemi nel salire di dimensione: perciò ero partito dalle dimensioni più basse.
Lo prendo come un esercizio, non appena ho un po' di pazienza, trovo il controesempio.
Un'altra domanda. Nella mia dimostrazione del punto 1), ho utilizzato la regolarità richiesta. Proviamo a generalizzare il tutto con l'ipotesi di regolarità, e vediamo cosa otteniamo, e poi ragioniamo in senso debole (ossia parliamo di derivate distribuzionali). Se vi va!
Punto 1)
Scelgo \(x_0\) t.c. \( f'(x_0) \neq 0\) e scrivo \( f(x)=f(x_0)+f'(x_0)(x-x_0)+\frac{f''(\xi)}{2}(x-x_0)^2\) da cui
\( f(x)\geq f(x_0)+f'(x_0)(x-x_0)\) e quindi se \( f'(x_0)>0\) è \( \underset{x \rightarrow +\infty}{lim} f(x)=+\infty\) e se \( f'(x_0)<0\)
è \( \underset{x \rightarrow -\infty}{lim} f(x)=+\infty\)
Punto 2)
Se la funzione \(f\) non è costante allora almeno in un punto \((x,y)\) deve risultare \( \frac{\partial f}{\partial x}\neq\frac{\partial f}{\partial y}\) oppure \( \frac{\partial f}{\partial x}\neq -\frac{\partial f}{\partial y}\)
Supponiamo che \( \frac{\partial f}{\partial x}\neq-\frac{\partial f}{\partial y}\) nel punto \( (x,y)\)
Consideriamo la funzione di \(t\) : \(F(t)=f(x+t,x)+f(x,y+t) \) risulta:
\( F(0)=2f(x,y)\)
\( F'(0)=\frac{\partial f}{\partial x}+\frac{\partial f}{\partial y}\neq 0\) derivate parziali in \((x,y)\)
\( F''(t)=\frac{\partial^2 f}{\partial x^2}+\frac{\partial^2 f}{\partial y^2} \geq 0\) derivate parziali calcolate rispettivamente in \( (x+t,x)\) e \( (x,y+t)\)
Possiamo scrivere:
\( F(t)=F(0)+F'(0)t+\frac{F''(\xi)}{2}t^2\geq F(0)+F'(0)t\) da cui:
\( f(x+t,y)+f(x,y+t) \geq 2f(x,y)+(\frac{\partial f}{\partial x}+\frac{\partial f}{\partial y})t\)
Siccome il secondo membro è una funzione di \(t\)superiormente illimitata almeno una delle due funzioni di \(t\)
\( f(x+t,y),f(x,y+t)\) deve essere superiormente illimitata.
Punto 3) Dimensione \( n \geq 3\)
Consideriamo la funzione:
\(
f(x)=\begin{cases}
e^{-\frac{1}{r}} & x\neq 0\\
0 & x=0
\end{cases}
\) con \( r=\|x\|\)
La funzione \( f \in C^2\) è limitata e
\( \nabla f=\begin{cases}
\left(\frac{n-3}{r^3}+\frac{1}{r^4} \right)e^{-\frac{1}{r}} & x\neq 0\\
0 & x=0
\end{cases}
\)
quindi \( \nabla f \geq 0\)
Scelgo \(x_0\) t.c. \( f'(x_0) \neq 0\) e scrivo \( f(x)=f(x_0)+f'(x_0)(x-x_0)+\frac{f''(\xi)}{2}(x-x_0)^2\) da cui
\( f(x)\geq f(x_0)+f'(x_0)(x-x_0)\) e quindi se \( f'(x_0)>0\) è \( \underset{x \rightarrow +\infty}{lim} f(x)=+\infty\) e se \( f'(x_0)<0\)
è \( \underset{x \rightarrow -\infty}{lim} f(x)=+\infty\)
Punto 2)
Se la funzione \(f\) non è costante allora almeno in un punto \((x,y)\) deve risultare \( \frac{\partial f}{\partial x}\neq\frac{\partial f}{\partial y}\) oppure \( \frac{\partial f}{\partial x}\neq -\frac{\partial f}{\partial y}\)
Supponiamo che \( \frac{\partial f}{\partial x}\neq-\frac{\partial f}{\partial y}\) nel punto \( (x,y)\)
Consideriamo la funzione di \(t\) : \(F(t)=f(x+t,x)+f(x,y+t) \) risulta:
\( F(0)=2f(x,y)\)
\( F'(0)=\frac{\partial f}{\partial x}+\frac{\partial f}{\partial y}\neq 0\) derivate parziali in \((x,y)\)
\( F''(t)=\frac{\partial^2 f}{\partial x^2}+\frac{\partial^2 f}{\partial y^2} \geq 0\) derivate parziali calcolate rispettivamente in \( (x+t,x)\) e \( (x,y+t)\)
Possiamo scrivere:
\( F(t)=F(0)+F'(0)t+\frac{F''(\xi)}{2}t^2\geq F(0)+F'(0)t\) da cui:
\( f(x+t,y)+f(x,y+t) \geq 2f(x,y)+(\frac{\partial f}{\partial x}+\frac{\partial f}{\partial y})t\)
Siccome il secondo membro è una funzione di \(t\)superiormente illimitata almeno una delle due funzioni di \(t\)
\( f(x+t,y),f(x,y+t)\) deve essere superiormente illimitata.
Punto 3) Dimensione \( n \geq 3\)
Consideriamo la funzione:
\(
f(x)=\begin{cases}
e^{-\frac{1}{r}} & x\neq 0\\
0 & x=0
\end{cases}
\) con \( r=\|x\|\)
La funzione \( f \in C^2\) è limitata e
\( \nabla f=\begin{cases}
\left(\frac{n-3}{r^3}+\frac{1}{r^4} \right)e^{-\frac{1}{r}} & x\neq 0\\
0 & x=0
\end{cases}
\)
quindi \( \nabla f \geq 0\)
Molto bene!
1) E' come l'ho fatto io.
2) Benissimo! Insomma, ci voleva un po' di pazienza.
3) Io propongo come controesempio
$f(x)=1-(1+|x|^2)^(-1/2)$.
Si ha che $(1+|x|^2)$ è compresa tra $1$ e $+\infty$, quindi $1-(1+|x|^2)^(-1/2)$ sta tra $0$ e $1$. Quindi è positiva.
Inoltre è analitica (la tua è Gevrey $\gamma^2$ ).
Con un po' di pazienza (oppure un software di calcolo simbolico
)
$\Delta f(x)=(n+(n-3)|x|^2)/(1+|x|^2)^(5/2)$
che è positivo se $n\geq 3$.
Cosa cambia in dimensioni basse? Direi: per avere una funzione subarmonica, è verificata una certa stima sulle medie (è la definizione), e in dimensioni alte la misura dell'insieme cresce più velocemente, e quindi sono permessi comportamenti di questo tipo. Può essere chiarita questa cosa?
E' possibile ottenere un risultato più forte? Cioè: è possibile provare che in dimensione $n=1,2$ non esistono distribuzioni subarmoniche limitate dall'alto (per esempio negative)?
1) E' come l'ho fatto io.
2) Benissimo! Insomma, ci voleva un po' di pazienza.
3) Io propongo come controesempio
$f(x)=1-(1+|x|^2)^(-1/2)$.
Si ha che $(1+|x|^2)$ è compresa tra $1$ e $+\infty$, quindi $1-(1+|x|^2)^(-1/2)$ sta tra $0$ e $1$. Quindi è positiva.
Inoltre è analitica (la tua è Gevrey $\gamma^2$
).Con un po' di pazienza (oppure un software di calcolo simbolico
)$\Delta f(x)=(n+(n-3)|x|^2)/(1+|x|^2)^(5/2)$
che è positivo se $n\geq 3$.
Cosa cambia in dimensioni basse? Direi: per avere una funzione subarmonica, è verificata una certa stima sulle medie (è la definizione), e in dimensioni alte la misura dell'insieme cresce più velocemente, e quindi sono permessi comportamenti di questo tipo. Può essere chiarita questa cosa?
E' possibile ottenere un risultato più forte? Cioè: è possibile provare che in dimensione $n=1,2$ non esistono distribuzioni subarmoniche limitate dall'alto (per esempio negative)?
Up.
E anche un po' down. Mettiamola così: si può mostrare che in dimensione $n=1,2$ non esistono funzioni $L^1_\text{loc}$ subarmoniche limitate dall'alto?
Non ho idea di come attaccare il problema. Va da se che non funzionano i conti precedenti. Oppure si può fare un ragionamento al limite? Chiedo aiuto ad utenti più smaliziati.
@Gugo: sono molto interessato ad una dimostrazione di quanto dici.
E anche un po' down. Mettiamola così: si può mostrare che in dimensione $n=1,2$ non esistono funzioni $L^1_\text{loc}$ subarmoniche limitate dall'alto?
Non ho idea di come attaccare il problema. Va da se che non funzionano i conti precedenti. Oppure si può fare un ragionamento al limite? Chiedo aiuto ad utenti più smaliziati.
@Gugo: sono molto interessato ad una dimostrazione di quanto dici.
In dimensione 2 puoi usare pari pari il criterio del confronto che dice Gugo, direi. Solo che invece del principio di massimo forte userai il principio di massimo debole:
se \(u \in H^1(\Omega)\) e
\begin{equation}
\begin{cases}
-\Delta u \le 0 & \Omega \\
u \le 0 & \partial \Omega\ (\text{i.e.}\ u^+\equiv 0\ \text{su}\ \partial \Omega)
\end{cases}
\end{equation}
allora \(u \le 0\) su \(\Omega\).
(cfr. Gilbarg Trudinger Elliptic PDE's ..., Theorem 8.1, di cui questo è un caso particolare).
Questa formulazione del principio di massimo dovrebbe fare al caso tuo.
se \(u \in H^1(\Omega)\) e
\begin{equation}
\begin{cases}
-\Delta u \le 0 & \Omega \\
u \le 0 & \partial \Omega\ (\text{i.e.}\ u^+\equiv 0\ \text{su}\ \partial \Omega)
\end{cases}
\end{equation}
allora \(u \le 0\) su \(\Omega\).
(cfr. Gilbarg Trudinger Elliptic PDE's ..., Theorem 8.1, di cui questo è un caso particolare).
Questa formulazione del principio di massimo dovrebbe fare al caso tuo.
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