Funzioni convesse

[pigrecoedition]

Salve, vorrei proporvi un quesito in merito ad una proprietà riguardante le funzioni strettamente convesse. La proposizione afferma che se f è una funzione strettamente convessa in un intervallo [a,b] allora essa ha un solo punto di minimo.
Ho pensato che poiché la funzione f è definita in [a,b] ed è convessa allora f è limitata, quindi f ammette massimo e minimo. Come posso dimostrare l'unicità del punto di minimo?

[Raptorista1]

Una funzione convessa in un intervallo è anche continua. Se ci fossero due minimi, tra essi ci sarebbe un punto in cui \(f\) ha un valore maggiore, ma allora...

[Fioravante Patrone1]

"pigrecoedition":poiché la funzione f è definita in [a,b] ed è convessa allora f è limitata, quindi f ammette massimo e minimo

Il "quindi" non è giustificato. Non è vero che una funzione limitata (ancorché definita su [a,b]) abbia per forza minimo

"Raptorista":Una funzione convessa in un intervallo è anche continua.

No. Prendi
f(x) = x^2 su [0,1[
= 2 nel punto 1

La convessità garantisce la continuità su un intervallo aperto, ma a pigrecoedition interessa un intervallo chiuso

"Raptorista":Se ci fossero due minimi, tra essi ci sarebbe un punto in cui \(f\) ha un valore maggiore, ma allora...

L'unicità del minimo è conseguenza immediata (basta la definizione) della stretta convessità.
Non capisco però il tuo ragionamento. Se ci fossero due minimi (più precisamente, due punti di minimo), i valori che f assumerebbe in tali punti sarebbe lo stesso (e da qui si ha subito una contraddizione usando la stretta convessità)

[Raptorista1]

"Fioravante Patrone":
No. Prendi
f(x) = x^2 su [0,1[
= 2 nel punto 1

La convessità garantisce la continuità su un intervallo aperto, ma a pigrecoedition interessa un intervallo chiuso

Vero, ma l'unica discontinuità sul bordo che mantiene la convessità è del tipo del tuo esempio, cioè con un valore maggiore del limite, e quindi non può esserci un minimo sul bordo. Puoi allora guardare separatamente il bordo e la parte interna del dominio.

"Fioravante Patrone":
Non capisco però il tuo ragionamento. Se ci fossero due minimi (più precisamente, due punti di minimo), i valori che f assumerebbe in tali punti sarebbe lo stesso (e da qui si ha subito una contraddizione usando la stretta convessità)

Qui potevo esprimermi un po' meglio, ed ho probabilmente mischiato minimi globali e locali nella mia testa. Volevo descrivere un'idea semplice ma ho fatto una cosa confusionaria

[pigrecoedition]

Se una funzione è strettamente convessa in un intervallo [a,b], non è detto che abbia minimo. Infatti basta considerare la funzione così definita: f(x)=x^2 x appartenete a (0,2] e f(0)=1 x=0. Tale funzione non ha minimo, inff(x)=0.
E necessario aggiungere come ipotesi l'esistenza del minimo?

[Rigel1]

Basta dimostrare che il minimo, se esiste, è unico.
(Supponi per assurdo che ci siano due punti di minimo distinti...)