Funzioni continue, limiti
Salve.
Sia $f : [0, +oo[ -> RR$ una funzione continua.
Si supponga di avere $| f(x) - sin(x) | <= 1/x$ per $x in [1, +oo[$.
Devo dimostrare che non esiste il limite per $x -> +oo$ di $f(x)$.
Dalla disuguaglianza ho:
$| [f(x) - sin(x)] + 0 | <= 1/x < epsilon$
Da un certo $x$ in poi, $1/x$ è più piccolo di qualsiasi $epsilon$ positivo; che è tanto come dire, credo, che $lim_(x -> +oo) f(x) - sin(x) = 0$
Intuitivamente, se aggiungo $sin(x)$ alla funzione $f(x) - sin(x)$ (che è convergente per $x -> +oo$), otterrei una funzione che non converge più, ma che in un intorno di infinito di comporta come $sin(x)$.
Riscrivo la disuguaglianza:
$sin(x) - 1/x <= f(x) <= sin(x) + 1/x$
Come faccio a concludere in maniera formale che non esiste $lim_(x -> +oo) f(x)$ ?
Nota: $f$ è limitata (già dimostrato). In questo modo basta concludere che $f$ non ha limite finito per provare la non esistenza del limite.
Sia $f : [0, +oo[ -> RR$ una funzione continua.
Si supponga di avere $| f(x) - sin(x) | <= 1/x$ per $x in [1, +oo[$.
Devo dimostrare che non esiste il limite per $x -> +oo$ di $f(x)$.
Dalla disuguaglianza ho:
$| [f(x) - sin(x)] + 0 | <= 1/x < epsilon$
Da un certo $x$ in poi, $1/x$ è più piccolo di qualsiasi $epsilon$ positivo; che è tanto come dire, credo, che $lim_(x -> +oo) f(x) - sin(x) = 0$
Intuitivamente, se aggiungo $sin(x)$ alla funzione $f(x) - sin(x)$ (che è convergente per $x -> +oo$), otterrei una funzione che non converge più, ma che in un intorno di infinito di comporta come $sin(x)$.
Riscrivo la disuguaglianza:
$sin(x) - 1/x <= f(x) <= sin(x) + 1/x$
Come faccio a concludere in maniera formale che non esiste $lim_(x -> +oo) f(x)$ ?
Nota: $f$ è limitata (già dimostrato). In questo modo basta concludere che $f$ non ha limite finito per provare la non esistenza del limite.
Risposte
Troppo complicato, Seneca. Per mostrare che un limite non esiste c'è un sistema così comodo... Prendere due successioni infinite e mostrare che $f$ le applica in due successioni convergenti a due limiti diversi.
"dissonance":
Troppo complicato, Seneca. Per mostrare che un limite non esiste c'è un sistema così comodo... Prendere due successioni infinite e mostrare che $f$ le applica in due successioni convergenti a due limiti diversi.
Grazie Dissonance. Come faccio se non ho la $f$?
Non hai l'espressione esplicita della $f$ però sai che, per $x$ grandi, essa è praticamente indistinguibile da $sin$. Direi che basta, no?
Sì, mi è naturale come ragionamento. Ma...
Come si può formalizzare questa proprietà?
"dissonance":
per $x$ grandi, essa è praticamente indistinguibile da $sin$
Come si può formalizzare questa proprietà?
"Seneca":
Come si può formalizzare questa proprietà?
Prova a pensare ai concetti di limite e di asintotico.
Ad esempio, [tex]\displaystyle \lim_{x \to +\infty} \frac{2x+1}{x} = 2[/tex] ci dice, qualitativamente, che "per [tex]x[/tex] sufficientemente grande" i grafici di [tex]y = \frac{2x+1}{x}[/tex] e [tex]y = 2[/tex] sono indistinguibili. Giusto?
Ma è ancora più facile se pensi alle successioni. Prendi due successioni numeriche $a_n, b_n$ tali che $|a_n-b_n|\to 0$ quando $n \to \infty$: ovvero, con il linguaggio di prima, per $n$ grande le due successioni sono "praticamente indistinguibili". In particolare, se $a_n \to a$ allora anche $b_n \to a$ (esercizio).
Ora dimostra che non esiste il limite di $sin(x)$ per $x \to +\infty$. Di questa funzione conosci l'espressione esplicita e quindi questa dimostrazione la sai fare in modo diretto, usando due successioni infinite opportunamente scelte... Resta solo da trasportare questo risultato alla tua $f(x)$, usando l'osservazione del capoverso precedente.
Ora dimostra che non esiste il limite di $sin(x)$ per $x \to +\infty$. Di questa funzione conosci l'espressione esplicita e quindi questa dimostrazione la sai fare in modo diretto, usando due successioni infinite opportunamente scelte... Resta solo da trasportare questo risultato alla tua $f(x)$, usando l'osservazione del capoverso precedente.
@Seneca: Se stai incontrando difficoltà ti dò un suggerimento: il risultato è vero nella sola ipotesi che
[tex]$\lim_{x \to +\infty} \lvert f(x) - \sin(x) \rvert = 0.[/tex]
Non serve neanche che [tex]f[/tex] sia continua.
[tex]$\lim_{x \to +\infty} \lvert f(x) - \sin(x) \rvert = 0.[/tex]
Non serve neanche che [tex]f[/tex] sia continua.
La motivazione sarebbe la seguente?
Abbiamo $lim_(x -> +oo) 1/x = 0$. E' noto cioè che comunque si fissi $epsilon > 0$ "piccolo", in un certo intorno di $+oo$ si ha che $|1/x| < epsilon$.
Poiché in un intorno di infinito abbiamo $|f(x) - sin(x)|<= 1/x$ esisterà un intorno di $+oo$ in cui anche $|f(x) - sin(x)|< epsilon$: cioè $lim_(x -> +oo) f(x) - sin(x) = 0$ .
Avevo pensato anche io che la continuità fosse una ipotesi da utilizzare nei "punti" seguenti dell'esercizio. Grazie Dissonance!
Abbiamo $lim_(x -> +oo) 1/x = 0$. E' noto cioè che comunque si fissi $epsilon > 0$ "piccolo", in un certo intorno di $+oo$ si ha che $|1/x| < epsilon$.
Poiché in un intorno di infinito abbiamo $|f(x) - sin(x)|<= 1/x$ esisterà un intorno di $+oo$ in cui anche $|f(x) - sin(x)|< epsilon$: cioè $lim_(x -> +oo) f(x) - sin(x) = 0$ .
Avevo pensato anche io che la continuità fosse una ipotesi da utilizzare nei "punti" seguenti dell'esercizio. Grazie Dissonance!
Si, ok. Fai prima per convergenza obbligata: essendo $0 \le | f(x)-sin(x)|\le 1/x$, al limite per $x \to +\infty$ si ha
$0\le lim_{x \to \infty} | f(x)-sin(x) | \le 0$,
cioè $ lim_{x \to \infty} | f(x)-sin(x) | = 0$. Ma è chiaro come usare questa ipotesi? Io avevo pensato di fare così: prese le successioni $n\pi, \pi/2+2n\pi$, risulta che $sin(n\pi)=0, sin(pi/2 +2n\pi)=1$ per ogni $n$. In particolare $f(n\pi)\to 0, f(pi/2+2n\pi)\to 1$ e questo esclude che possa esistere il limite per $x \to +\infty$ di $f(x)$.
$0\le lim_{x \to \infty} | f(x)-sin(x) | \le 0$,
cioè $ lim_{x \to \infty} | f(x)-sin(x) | = 0$. Ma è chiaro come usare questa ipotesi? Io avevo pensato di fare così: prese le successioni $n\pi, \pi/2+2n\pi$, risulta che $sin(n\pi)=0, sin(pi/2 +2n\pi)=1$ per ogni $n$. In particolare $f(n\pi)\to 0, f(pi/2+2n\pi)\to 1$ e questo esclude che possa esistere il limite per $x \to +\infty$ di $f(x)$.
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