Funzioni continue e metrica discreta
Prima di coricarmi, ho un altro esercizio da discutere un po'.
Ragionandoci un po', ho notato che il \(\displaystyle \delta \) di continuità di tutte queste funzioni non dipende dal punto \(\displaystyle x_{0} \) fissato, ma soltanto da \(\displaystyle \epsilon \) (o potrebbe addirittura essere svincolato pure da \(\displaystyle \epsilon \) - fissando infatti un qualsiasi reale positivo \(\displaystyle p \), si ha \(\displaystyle d(x,x_{0})<1+p \) comunque si scelgano i punti ed \(\displaystyle \epsilon \) stesso).
Infatti in una funzione di questo tipo, se \(\displaystyle x=x_{0} \), allora \(\displaystyle f(x)-f(x_{0})=0 \), e quindi \(\displaystyle \epsilon=\delta \). Se invece \(\displaystyle x \ne x_{0} \) e \(\displaystyle |f(x)-f(x_{0})|<\epsilon \), esiste \(\displaystyle \delta \) tale che \(\displaystyle \delta=1+\epsilon \) in quanto in ogni caso \(\displaystyle d(x,x_{0})<1+\epsilon \), \(\displaystyle \forall \ \epsilon >0 \) e per ogni \(\displaystyle x, \ x_{0} \).
Che siano forse funzioni uniformemente continue delle quali mi ha parlato Paolo90 in questo topic alcune ore fa?
Saluti, e buona notte.
Sia \(\displaystyle \mathrm{X} \) un insieme e sia \(\displaystyle d \) la distanza discreta (vedi "altre distanze") su \(\displaystyle \mathrm{X} \). Su \(\displaystyle \mathbb{R} \) si consideri la distanza euclidea.
Descrivere l'insieme di tutte le funzioni continue \(\displaystyle f:\mathrm{X} \rightarrow \mathbb{R} \).
Ragionandoci un po', ho notato che il \(\displaystyle \delta \) di continuità di tutte queste funzioni non dipende dal punto \(\displaystyle x_{0} \) fissato, ma soltanto da \(\displaystyle \epsilon \) (o potrebbe addirittura essere svincolato pure da \(\displaystyle \epsilon \) - fissando infatti un qualsiasi reale positivo \(\displaystyle p \), si ha \(\displaystyle d(x,x_{0})<1+p \) comunque si scelgano i punti ed \(\displaystyle \epsilon \) stesso).
Infatti in una funzione di questo tipo, se \(\displaystyle x=x_{0} \), allora \(\displaystyle f(x)-f(x_{0})=0 \), e quindi \(\displaystyle \epsilon=\delta \). Se invece \(\displaystyle x \ne x_{0} \) e \(\displaystyle |f(x)-f(x_{0})|<\epsilon \), esiste \(\displaystyle \delta \) tale che \(\displaystyle \delta=1+\epsilon \) in quanto in ogni caso \(\displaystyle d(x,x_{0})<1+\epsilon \), \(\displaystyle \forall \ \epsilon >0 \) e per ogni \(\displaystyle x, \ x_{0} \).
Che siano forse funzioni uniformemente continue delle quali mi ha parlato Paolo90 in questo topic alcune ore fa?
Saluti, e buona notte.
Risposte
Troppo complicato. La risposta al problema richiede un ragionamento molto più semplice. Giriamola così: può esistere una funzione \(X \to \mathbb{R}\) NON continua?
Aggiungo a quanto detto da dissonance che, se conosci un po' di topologia, la risposta è immediata.
Ti basta ricordare che la topologia discreta è indotta dalla metrica discreta: quindi nel tuo caso, tutte le parti di $X$ sono aperte. Ancora, ricorda che una mappa è continua se e solo se le controimmagini di aperti sono aperti.
Ti basta ricordare che la topologia discreta è indotta dalla metrica discreta: quindi nel tuo caso, tutte le parti di $X$ sono aperte. Ancora, ricorda che una mappa è continua se e solo se le controimmagini di aperti sono aperti.
@dissonance: direi di no. Il ragionamento però è lo stesso: comunque preso \(\displaystyle \epsilon \), esiste sempre \(\displaystyle \delta \) tale che sia soddisfatta la definizione di continuità. Quindi sarei portato a concludere che le funzioni continue \(\displaystyle f:\mathrm{X} \rightarrow \mathbb{R} \) sono le "sole" funzioni disponibili, ossia che tutte le funzioni che "collegano" i due spazi metrici sono continue.
@Paolo90: niente topologia per me. Almeno non ancora
@Paolo90: niente topologia per me. Almeno non ancora
Esatto. Tutte le funzioni \(X \to \mathbb{R}\) sono continue. Questo perché per ogni \(\varepsilon\) è sufficiente prendere \(\delta =1/2\) e la definizione di continuità è vera a vuoto. Quindi, tu dici: ogni funzione \(X\to \mathbb{R}\) è anche uniformemente continua, ed è pure vero, si. Si banalizza tutto, ecco.
La metrica discreta è quella che hai, ad esempio, sui numeri naturali. Ecco perché quando parli di successioni non usi il concetto di continuità: ogni successione (intesa come applicazione \(\mathbb{N}\to \mathbb{R}\)) è continua, quindi questa nozione è priva di significato.
La metrica discreta è quella che hai, ad esempio, sui numeri naturali. Ecco perché quando parli di successioni non usi il concetto di continuità: ogni successione (intesa come applicazione \(\mathbb{N}\to \mathbb{R}\)) è continua, quindi questa nozione è priva di significato.
Grazie dissonance.
Ora mi sorge spontanea una domanda: e se avessi una funzione del tipo \(\displaystyle f:\mathbb{R} \rightarrow \mathrm{X} \) potrei parlare di continuità? Che espressione analitica potrebbe avere? Ad esempio la funzione costante dovrebbe poter fare al caso mio: infatti \(\displaystyle \forall \ x, \ x_{0} \in \mathbb{R} \) avrei \(\displaystyle d(f(x),f(x_{0}))=0<\epsilon\) e \(\displaystyle \forall \ \epsilon>0 \) potrei prendere per esempio \(\displaystyle \delta=\epsilon \) in modo tale che \(\displaystyle |x-x_{0}|<\delta \quad \Rightarrow \quad d(f(x),f(x_{0}))=0<\epsilon \).
E' uno sproloquio?
Ora mi sorge spontanea una domanda: e se avessi una funzione del tipo \(\displaystyle f:\mathbb{R} \rightarrow \mathrm{X} \) potrei parlare di continuità? Che espressione analitica potrebbe avere? Ad esempio la funzione costante dovrebbe poter fare al caso mio: infatti \(\displaystyle \forall \ x, \ x_{0} \in \mathbb{R} \) avrei \(\displaystyle d(f(x),f(x_{0}))=0<\epsilon\) e \(\displaystyle \forall \ \epsilon>0 \) potrei prendere per esempio \(\displaystyle \delta=\epsilon \) in modo tale che \(\displaystyle |x-x_{0}|<\delta \quad \Rightarrow \quad d(f(x),f(x_{0}))=0<\epsilon \).
E' uno sproloquio?
Infatti la funzione costante è continua e per ogni \(\varepsilon\) va bene qualsiasi \(\delta\). Ci sono altre funzioni continue?
Di nuovo direi di no. Per ogni funzione \(\displaystyle f:\mathbb{R} \rightarrow \mathrm{X} \) tale che esiste almeno una coppia di punti \(\displaystyle x, \ x_{0} \ \in \mathbb{R} \) tale che \(\displaystyle f(x) \ne f(x_{0}) \), risulterebbe \(\displaystyle d(f(x),f(x_{0}))=1 \) e quindi la definizione di continuità non sarebbe verificata per tutti gli \(\displaystyle \epsilon >0 \)
Ti sei un po' confuso (\(x_1, x_2 \in \mathbb{R}\), non \(x_1, x_2\in X\); inoltre la continuità fallisce per \(0<\varepsilon <1\), se \(\varepsilon >=1\) non ci sono problemi), ma hai sostanzialmente capito.
Ora suggerirei di chiudere qui l'argomento "metriche strampalate" e di continuare lo studio delle funzioni reali di variabile reale. Quando poi studierai un po' di topologia generale avrai gli strumenti per affrontare problemi come il presente in un batter d'occhio.
Ora suggerirei di chiudere qui l'argomento "metriche strampalate" e di continuare lo studio delle funzioni reali di variabile reale. Quando poi studierai un po' di topologia generale avrai gli strumenti per affrontare problemi come il presente in un batter d'occhio.
Scusa dissonance, ho corretto l'errore mentre rispondevi e ci siamo "accavallati".
Quanto alle "metriche strampalate", trattasi questo di un esercizio assegnatoci dal professore di analisi, probabilmente oltremodo innamorato di spazi metrici e compagnia bella.
Ti ringrazio per la disponibilità!
Quanto alle "metriche strampalate", trattasi questo di un esercizio assegnatoci dal professore di analisi, probabilmente oltremodo innamorato di spazi metrici e compagnia bella.
Ti ringrazio per la disponibilità!
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