Funzioni continue e funzioni derivabili
Buongiorno a tutti, vi scrivo in quanto non ho ben chiaro il metodo di risoluzione di una certa tipologia di esercizi, di cui vi riporto un esercizio di esempio:
In base alla definizione di funzione continua in un punto sinceramente non riesco a capire in che modo devo procedere per risolvere l'esercizio.. questo che vi ho riportato fa parte di un testo di esame.
già che ci sono, un altro dubbio sempre su funzioni continue/derivabili: quando si chiede di dire se e dove la funzione è continua/derivabile, cosa bisogna spiegare/calcolare? Vi ringrazio se potrete illuminarmi.
Chiara
In base alla definizione di funzione continua in un punto sinceramente non riesco a capire in che modo devo procedere per risolvere l'esercizio.. questo che vi ho riportato fa parte di un testo di esame.
già che ci sono, un altro dubbio sempre su funzioni continue/derivabili: quando si chiede di dire se e dove la funzione è continua/derivabile, cosa bisogna spiegare/calcolare? Vi ringrazio se potrete illuminarmi.
Chiara
Risposte
I due "pezzi" sono naturalmente funzioni continue e derivabili (composizioni di funzioni continue e derivabili).
Dunque l'unica cosa da fare è imporre che i limiti di $f(x)$ per $x$ che tende a 0 da sinistra e da destra coincidano, così come i limiti per $x$ tendente a 0 da sinistra e da destra del rapporto incrementale $\frac{f(x)-f(0)}{x}$.
In questo modo trovi delle condizioni per $a$ e $b$.
Dunque l'unica cosa da fare è imporre che i limiti di $f(x)$ per $x$ che tende a 0 da sinistra e da destra coincidano, così come i limiti per $x$ tendente a 0 da sinistra e da destra del rapporto incrementale $\frac{f(x)-f(0)}{x}$.
In questo modo trovi delle condizioni per $a$ e $b$.
Affinchè la funzione così definita sia continua su tutto il suo dominio, occorre che entrambe le funzioni tramite le quali si descrive a tratti la $f(x)$ siano continue nel loro insieme di definizione ed in particolare (ciò a cui sempre si deve far attenzione in questi esercizi) che:
$\lim_{x\tox_0}f(x)=f(x_0)$. dove $x_0$ è in questo caso $0$. Quindi:
$f(0)=a-1=\lim_{x\to0^+}1+b\sqrt{x^3+x+1}=1+b=>a=2+b$
Affinche invece risulti derivabile, la $f$ deve rispettare le condizioni precedenti ed in più le stesse clausolo intese stavolta invece che sulla funzione sulla sua derivata:
$f'(x)={(-2xe^{x^2},x<=0),({b(3x^2+1)}/{2\sqrt{x^3+x+1}},x>0):}$
Quindi:
$f'(0)=0=\lim_{x\to0^+}{b(3x^2+1)}/{2\sqrt{x^3+x+1}}=b/2=>b=0=>a=2$
quindi affinchè la funzione sia derivabile occorre che:
${(b=0),(a=2):},
mentre affinchè sia continua basta che:
$a=2b$
$\lim_{x\tox_0}f(x)=f(x_0)$. dove $x_0$ è in questo caso $0$. Quindi:
$f(0)=a-1=\lim_{x\to0^+}1+b\sqrt{x^3+x+1}=1+b=>a=2+b$
Affinche invece risulti derivabile, la $f$ deve rispettare le condizioni precedenti ed in più le stesse clausolo intese stavolta invece che sulla funzione sulla sua derivata:
$f'(x)={(-2xe^{x^2},x<=0),({b(3x^2+1)}/{2\sqrt{x^3+x+1}},x>0):}$
Quindi:
$f'(0)=0=\lim_{x\to0^+}{b(3x^2+1)}/{2\sqrt{x^3+x+1}}=b/2=>b=0=>a=2$
quindi affinchè la funzione sia derivabile occorre che:
${(b=0),(a=2):},
mentre affinchè sia continua basta che:
$a=2b$
Se vuoi vedere degli esercizi del genere svolti vai a:
http://www.mat.uniroma1.it/people/orsina/CalcoloI/Soluzione05.pdf (esercizio 4)
http://www.mat.uniroma1.it/people/orsina/CalcoloI/Soluzione06.pdf (esercizi 2 e 3)
http://www.mat.uniroma1.it/people/orsina/CalcoloI/SoluzioneEsonero01.pdf (esercizio 5)
http://www.mat.uniroma1.it/people/orsina/CalcoloI/Soluzione030120.pdf (esercizio 3a)
http://www.mat.uniroma1.it/people/orsina/CalcoloI/Soluzione05.pdf (esercizio 4)
http://www.mat.uniroma1.it/people/orsina/CalcoloI/Soluzione06.pdf (esercizi 2 e 3)
http://www.mat.uniroma1.it/people/orsina/CalcoloI/SoluzioneEsonero01.pdf (esercizio 5)
http://www.mat.uniroma1.it/people/orsina/CalcoloI/Soluzione030120.pdf (esercizio 3a)
vi ringrazio molto, io mi ero bloccata nel calcolo del limite dei due "pezzi" di funzione, prima per x che va a zero meno e poi per x che va a zero più..mi mancava il fatto di porli uguali 
Una cosa ancora: se invece devo soltanto dimostrare se la funzione è continua nel suo dominio? Calcolo i limiti agli estremi e li pongo uguali? grazie
Una cosa ancora: se invece devo soltanto dimostrare se la funzione è continua nel suo dominio? Calcolo i limiti agli estremi e li pongo uguali? grazie
esatto
ah, scusate: qui trovo che la funzione è derivabile con b=0 e a=2 perchè precedentemente ho trovato la relazione a = 2+b, perciò sostituendo b=0 trovo a=2, giusto? 
Sì 
fantastico...grazie a tutti!! 
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