Funzioni continue da R in R
Allora ragazzi ho due vero e falso, la risposta che ho dato è giusta ma proviene da un ragionamento "grafico"
Si supponga $f:R rarr R$
Se la funzione è continua, dispari e sia $"supf"=+oo$. Allora $f(R)=R$
Questa affermazione, anche pensando un po' al grafico e alle simmetrie, mi sembra vera.
Il professore ha detto che la dimostrazione parte dal considerare un intervallo simmetrico $[-n,n], n \in N$, per poi sfruttare la definizione di $"supf"$ e di funzione dispari. Probabilmente bisogna lavorare con le successioni però non so come
Il secondo quesito è
L'ipotesi generale è la stessa ma stavolta è
Se la funzione è pari, continua e $lim_(x\to+oo)f(x)=+oo$ allora ha $f$ ha minimo
Qui anche ho messo vero ragionando sul possibile grafico ma non sono riuscito a trovare una dimostrazione formale.
Qualcuno può aiutarmi non so da dove iniziare (un input va più che bene, non mi serve l'intera dimostrazione, infatti vorrei provare a finirle da solo). Grazie mille
Si supponga $f:R rarr R$
Se la funzione è continua, dispari e sia $"supf"=+oo$. Allora $f(R)=R$
Questa affermazione, anche pensando un po' al grafico e alle simmetrie, mi sembra vera.
Il professore ha detto che la dimostrazione parte dal considerare un intervallo simmetrico $[-n,n], n \in N$, per poi sfruttare la definizione di $"supf"$ e di funzione dispari. Probabilmente bisogna lavorare con le successioni però non so come
Il secondo quesito è
L'ipotesi generale è la stessa ma stavolta è
Se la funzione è pari, continua e $lim_(x\to+oo)f(x)=+oo$ allora ha $f$ ha minimo
Qui anche ho messo vero ragionando sul possibile grafico ma non sono riuscito a trovare una dimostrazione formale.
Qualcuno può aiutarmi non so da dove iniziare (un input va più che bene, non mi serve l'intera dimostrazione, infatti vorrei provare a finirle da solo). Grazie mille
Risposte
Per il primo: non ci ho pensato molto, ma credo che qualcosa tipo $\text{sup}(-f)=-\text{inf}(f)$ e un importante teorema che, nelle ipotesi in cui ti trovi, dà informazioni sull'immagine di una funzione aiuti.
Per il secondo: intuitivamente l'ipotesi di limite $\infty$ per $x \to \infty$ ti dice che, dopo un certo valore "soglia", $f$ sta sopra a qualsiasi costante arbitraria. Se $f$ è pari cosa succede al limite per $x \to -\infty$ a partire dall'ipotesi sul limite che hai? Poi, che succede nella "terra di mezzo" (Gandalf non può aiutarti)?
Per il secondo: intuitivamente l'ipotesi di limite $\infty$ per $x \to \infty$ ti dice che, dopo un certo valore "soglia", $f$ sta sopra a qualsiasi costante arbitraria. Se $f$ è pari cosa succede al limite per $x \to -\infty$ a partire dall'ipotesi sul limite che hai? Poi, che succede nella "terra di mezzo" (Gandalf non può aiutarti)?
Il primo è il teorema dei valori intermedi (o, se vuoi, il fatto che una continua spara connessi in connessi, e che i connessi di \( \mathbb R \) sono esauriti dagli intervalli): se prendi \( y\in \mathbb R \), esistono \( y_1 \) e \( y_2 \) nell'immagine di \( f \) tali che \( y_1 < y < y_2 \) (perché \( \inf f < y < \sup f\); usa le proprietà di \( \inf \) e \( \sup \)...); allora, anche \( y \) sta nell'immagine di \( f \).
Il secondo, invece, è un fatto di compattezza: se \( \lim_{x\to +\infty}f(x) = +\infty \) ed \( f \) è pari, allora anche \( \lim_{x\to -\infty}f(x) = +\infty \). Se estendi in modo ovvio \( f \) a \( \overline{\mathbb R} = \mathbb R\amalg \{-\infty,+\infty\} \), hai ancora una funzione continua, che però 'sta volta è continua "su un intervallo chiuso".
Il secondo, invece, è un fatto di compattezza: se \( \lim_{x\to +\infty}f(x) = +\infty \) ed \( f \) è pari, allora anche \( \lim_{x\to -\infty}f(x) = +\infty \). Se estendi in modo ovvio \( f \) a \( \overline{\mathbb R} = \mathbb R\amalg \{-\infty,+\infty\} \), hai ancora una funzione continua, che però 'sta volta è continua "su un intervallo chiuso".
Allora per il primo non sono arrivato a nulla purtroppo.
Per il secondo ho trovato un interessante corollario di Weierstrass che mi dice che se $f \in C°([a,b]), f " ha stesso limite agli estremi"$ (anche $+-oo$). Allora $f$ ammette massimo o minimo. Tuttavia il libro non presenta dimostrazione, ma la lascia per esercizio. Io ho pensato che per def. di limite
$EE \delta \in R, EE M>"inf"f: AA|x|>\delta, f(x)>M$, e dunque il minimo è assunto in un intervallo del tipo $[-\delta, +\delta]$. Ma per la natura della funzione stessa il $minf$ dove $f " è ristretta ad "[-\delta,+delta]$ sarà uguale al $minf$ su tutto $R$
Per il secondo ho trovato un interessante corollario di Weierstrass che mi dice che se $f \in C°([a,b]), f " ha stesso limite agli estremi"$ (anche $+-oo$). Allora $f$ ammette massimo o minimo. Tuttavia il libro non presenta dimostrazione, ma la lascia per esercizio. Io ho pensato che per def. di limite
$EE \delta \in R, EE M>"inf"f: AA|x|>\delta, f(x)>M$, e dunque il minimo è assunto in un intervallo del tipo $[-\delta, +\delta]$. Ma per la natura della funzione stessa il $minf$ dove $f " è ristretta ad "[-\delta,+delta]$ sarà uguale al $minf$ su tutto $R$
Ho appena letto i tuoi messaggi Marco e devo dirti che non capisco ciò che hai scritto.
Non ho mai sentito parlare nel mio corso di compattezza, connessi. In ogni caso mi hai illuminato col teorema dei valori intermedi. Per il primo esercizio si potrebbe fare così
Allora io so che la funzione è illimitata superiormente per def. di $"sup"f$
Allora se una $f \in C^0(\bar R)$ la sua immagine è necessariamente un intervallo che ha per estremi $"inf"f , "sup"f$. Tuttavia, grazie a Mephlip, io so che $"sup"(-f)=-"inf"(f)$... niente, mi son fermato qui. Pensavo di aver avuto un'idea ma non riesco ad arrivare a nulla.
Non ho mai sentito parlare nel mio corso di compattezza, connessi. In ogni caso mi hai illuminato col teorema dei valori intermedi. Per il primo esercizio si potrebbe fare così
Allora io so che la funzione è illimitata superiormente per def. di $"sup"f$
Allora se una $f \in C^0(\bar R)$ la sua immagine è necessariamente un intervallo che ha per estremi $"inf"f , "sup"f$. Tuttavia, grazie a Mephlip, io so che $"sup"(-f)=-"inf"(f)$... niente, mi son fermato qui. Pensavo di aver avuto un'idea ma non riesco ad arrivare a nulla.
Se non capisci ciò che ho scritto, basta dirlo, come hai appena fatto, no?
Per il primo, la dimostrazione è letteralmente quella che ho scritto io. Se \( f\colon \mathbb R\to \mathbb R \) è continua, dispari e vale \( \sup f = +\infty \), saprai dimostrare (sennò sallo) che \( \inf f = -\infty \). Quello che devi far vedere adesso è che, se \( y \) è un numero reale, esiste un \( x\in \mathbb R \) tale che \( y = f(x) \) (questo è quello che significa "\( \mathbb R = f(\mathbb R) \)"; se non ti è chiara questa affermazione, dillo). Prendi \( y\in \mathbb R \): esistono due \( y_1,y_2\in f(\mathbb R) \) tali che \( y_1 < y < y_2 \), e questo perché 1) se non fosse vero che esiste un qualche \( y_1\in f(\mathbb R) \), \( y_1 < y \), significherebbe che, per ogni \( y_1\in f(\mathbb R) \), è \( y\leqq y_1 \); questo è assurdo, perché vorrebbe dire che l'immagine di \( f \) è inferiormente limitata, e invece è \( \inf f = -\infty \)). E perché 2) se non fosse vero che esiste un qualche \( y_2\in f(\mathbb R) \), \( y < y_2 \), significherebbe che... Ora, davvero, ti basta applicare il teorema dei valori intermedi.
Per il secondo. Se \( f\colon \mathbb R\to \mathbb R \) è continua, pari, e ammette limite in \( +\infty \), allora ammette limite uguale anche in \( -\infty \) (dimostralo); facciamo che \( f \) ammetta limite in \( +\infty \), uguale a \( +\infty \). Prendi un \( M > 0 \): esiste un \( \delta > 0 \) (in realtà, la definizione di limite ti garantisce l'esistenza di due soglie oltre le quali \( f(x) > M \); prendi \( \delta \) pari alla [più grande??/più piccola??]) tale che, per \( x\in \mathbb R\setminus{\left[-\delta,\delta\right]} \) si ha \( f(x) > M \). Adesso: hai che \( f \) ammette un minimo su \( \left[-\delta,\delta\right] \), per Weiestrass (credo si chiami Weierstrass il th; insomma quello ahah); in altre parole, esiste un \( x_0\in \left[-\delta,\delta\right] \) tale che, per ogni \( x\in \left[-\delta,\delta\right] \), si ha \( f(x_0) \leqq f(x) \). Fare la dimostrazione dopo aver letto tutto ciò è solo fastidioso da scrivere, non farmelo fare (scegli bene \( M \)!).
Per il primo, la dimostrazione è letteralmente quella che ho scritto io. Se \( f\colon \mathbb R\to \mathbb R \) è continua, dispari e vale \( \sup f = +\infty \), saprai dimostrare (sennò sallo) che \( \inf f = -\infty \). Quello che devi far vedere adesso è che, se \( y \) è un numero reale, esiste un \( x\in \mathbb R \) tale che \( y = f(x) \) (questo è quello che significa "\( \mathbb R = f(\mathbb R) \)"; se non ti è chiara questa affermazione, dillo). Prendi \( y\in \mathbb R \): esistono due \( y_1,y_2\in f(\mathbb R) \) tali che \( y_1 < y < y_2 \), e questo perché 1) se non fosse vero che esiste un qualche \( y_1\in f(\mathbb R) \), \( y_1 < y \), significherebbe che, per ogni \( y_1\in f(\mathbb R) \), è \( y\leqq y_1 \); questo è assurdo, perché vorrebbe dire che l'immagine di \( f \) è inferiormente limitata, e invece è \( \inf f = -\infty \)). E perché 2) se non fosse vero che esiste un qualche \( y_2\in f(\mathbb R) \), \( y < y_2 \), significherebbe che... Ora, davvero, ti basta applicare il teorema dei valori intermedi.
Per il secondo. Se \( f\colon \mathbb R\to \mathbb R \) è continua, pari, e ammette limite in \( +\infty \), allora ammette limite uguale anche in \( -\infty \) (dimostralo); facciamo che \( f \) ammetta limite in \( +\infty \), uguale a \( +\infty \). Prendi un \( M > 0 \): esiste un \( \delta > 0 \) (in realtà, la definizione di limite ti garantisce l'esistenza di due soglie oltre le quali \( f(x) > M \); prendi \( \delta \) pari alla [più grande??/più piccola??]) tale che, per \( x\in \mathbb R\setminus{\left[-\delta,\delta\right]} \) si ha \( f(x) > M \). Adesso: hai che \( f \) ammette un minimo su \( \left[-\delta,\delta\right] \), per Weiestrass (credo si chiami Weierstrass il th; insomma quello ahah); in altre parole, esiste un \( x_0\in \left[-\delta,\delta\right] \) tale che, per ogni \( x\in \left[-\delta,\delta\right] \), si ha \( f(x_0) \leqq f(x) \). Fare la dimostrazione dopo aver letto tutto ciò è solo fastidioso da scrivere, non farmelo fare (scegli bene \( M \)!).
Ok grazie mille Marco adesso è tutto chiaro(la mie parole non erano una critica alla tua risposta, era solo una momento di autocommiserazione haha). Quindi per Il primo, dopo tutte ciò che hai già detto tu, basta osservare che siccome il codominio della $f$ è $\bar R$ ( $R uu -oo,+oo$ ), osservo poi che $y_1, y_2$ sono arbitrari e pertanto, per il TVI, la $f$ assume tutti i valori in $[y_1,y_2]-=[-oo,+oo]$ c.v.d
Per il secondo non so se l'hai vista ma la mia dimostrazione è molto simile alla tua, tuttavia ci sono alcune cose che non ho capito. Perché ci sono due soglie $\delta_1,\delta_2$ (in tal modo ci sarebbero due intervalli in cui valutare la presenza del minimo $[-\delta_1,\delta_1],[-\delta_2,\delta_2])$ e in ogni caso, rispondendo al quesito che hai posto, suppongo bisognerebbe considerare l'intervallo più piccolo, ovvero, tradotto, bisognerebbe prendere il $\delta$ con valore assoluto minore giusto?
Seconda cosa: la $M$ che si prende non è per forza strettamente positiva(ovviamente lo sarà perché M sarà molto grande e quindi positiva perché stiamo considerando una funzione che diverge positivamente), ma possiamo dire semplicemente che sicuramente è maggiore del $"inf"f$, che esiste sempre. Giusto per essere sicuro quando scrivi
a cosa ti stai riferendo nelle parentesi.
P.S. Sì, non sbagli il th. è proprio quello di Weierstrass, che afferma, sotto opportune ipotesi, l'esistenza di massimo e minimo.
P.S. La cosa divertente è che tutto questo lo sto facendo di mia personale iniziativa, siccome si tratta di vero e falso di cui non bisogna nemmeno dare la più semplice della motivazione, però non pensavo che la dimostrazione di affermazioni, intuitivamente non complesse, richiedesse tanta meticolosità e lavoro. Probabilmente sono io che son negato
Per il secondo non so se l'hai vista ma la mia dimostrazione è molto simile alla tua, tuttavia ci sono alcune cose che non ho capito. Perché ci sono due soglie $\delta_1,\delta_2$ (in tal modo ci sarebbero due intervalli in cui valutare la presenza del minimo $[-\delta_1,\delta_1],[-\delta_2,\delta_2])$ e in ogni caso, rispondendo al quesito che hai posto, suppongo bisognerebbe considerare l'intervallo più piccolo, ovvero, tradotto, bisognerebbe prendere il $\delta$ con valore assoluto minore giusto?
Seconda cosa: la $M$ che si prende non è per forza strettamente positiva(ovviamente lo sarà perché M sarà molto grande e quindi positiva perché stiamo considerando una funzione che diverge positivamente), ma possiamo dire semplicemente che sicuramente è maggiore del $"inf"f$, che esiste sempre. Giusto per essere sicuro quando scrivi
prendi $\delta$ pari alla [più grande??/più piccola??]) tale che, per $x \in R " \ "[−\delta,\delta]$ si ha $f(x)>M$
a cosa ti stai riferendo nelle parentesi.
P.S. Sì, non sbagli il th. è proprio quello di Weierstrass, che afferma, sotto opportune ipotesi, l'esistenza di massimo e minimo.
P.S. La cosa divertente è che tutto questo lo sto facendo di mia personale iniziativa, siccome si tratta di vero e falso di cui non bisogna nemmeno dare la più semplice della motivazione, però non pensavo che la dimostrazione di affermazioni, intuitivamente non complesse, richiedesse tanta meticolosità e lavoro. Probabilmente sono io che son negato
"SteezyMenchi":A questo (e alla tua dimostrazione per il p.to 2) non so cosa rispondere: quello che vuoi dire magari (e probabilmente) è pure giusto, il punto è che manca proprio l'italiano. Comunque: cos'è \( \bar R \)? Perché dici che "\( f \) assume tutti i valori in \( [y_1,y_2]\equiv [-\infty,+\infty] \)" (cosa che è falsa, nel senso che non è \( [y_1,y_2]\equiv [-\infty,+\infty] \), perlomeno nella notazione che ho usato io nel mio post...)?
Quindi per Il primo, dopo tutte ciò che hai già detto tu, basta osservare che siccome il codominio della $ f $ è $ \bar R $, osservo poi che $ y_1, y_2 $ sono arbitrari e pertanto, per il TVI, la $ f $ assume tutti i valori in $ [y_1,y_2]-=[-oo,+oo] $ c.v.d
"SteezyMenchi":Perché le relazioni di limite che valgono sono due, cioè
Perché ci sono due soglie
\[
\lim_{x\to -\infty}f(x) = +\infty = \lim_{x\to +\infty}f(x)
\] e quindi esiste un \( \delta_1 > 0 \) tale che se \( \delta_1 < x \) allora \( M < f(x) \), ed esiste un \( \delta_2 > 0 \)... Ora, se poni \( \delta = \max\{\delta_1,\delta_2\} \) hai che \( {\color{red}\lvert}x{\color{red}\rvert} > \delta \) (o \( x\in \mathbb R\setminus [-\delta,\delta] \), o dillo come ti pare) implica \( f(x) > M \).
Hai fatto un disegno? Ti sei accorto che, scelto \( M\in \mathbb R \), puoi dividere il piano in tre "fasce", e che la funzione \( f \) assume minimo \( f(x_0) \) in un punto della fascia centrale? Che cosa succede nelle fasce di bordo? Puoi fare in modo che lì \( f \) stia sempre sopra a ehm... qualcosa?
SOLUZIONE (ma non guardarla):
"SteezyMenchi":Fai bene, sorprendentemente è così che si studia. È ènormale che dimostrazioni di fatti banali siano, in realtà, impestate (e questo è niente); poi ti abitui.
P.S. La cosa divertente è che tutto questo lo sto facendo di mia personale iniziativa, siccome si tratta di vero e falso di cui non bisogna nemmeno dare la più semplice della motivazione, però non pensavo che la dimostrazione di affermazioni, intuitivamente non complesse, richiedesse tanta meticolosità e lavoro.
Non guardo la soluzione perché penso che il mio ragionamento sia giusto.
Per il primo esercizio ho semplicemente pensato questo: ( premettiamo che la notazione $\bar R=R uu -oo,+oo$)
Siccome la funzione è dispari ed il codominio è illimitato superiormente, allora sarà anche illimitato inferiormente. Noi dobbiamo dimostrare che esiste l'immagine, tramite la $f$ di tutti i valori in $R$. Tu hai dimostrato che, preso un elemento $y \in R$ esistono sempre due immagini tramite $f$, $y_1,y_2$, tali che $y_1 < y < y_2$. Adesso siccome a noi, per lavorare col teorema dei valori intermedi serve un intervallo in cui la $f$ è continua, prendiamo il generico intervallo da te chiamato $[y_1,y_2]$, e siccome essi sono valori arbitrari in $R$ allora $f(R)=R$. Tutto questo è vale proprio perché tu hai detto che il codominio della funzione è illimitato.
Per il secondo punto continuo a non capire. Ti mostro il grafico a parole. Immaginiamo una parabola con concavità verso l'alto, i cui limiti, per $x \to +-oo$ vanno entrambi a $+oo$. Prendo un valore soglia $M$ sull'asse delle ordinate (supponiamo che il vertice della parabola sia in un punto $(x=0,y)$ del piano cartesiano. Adesso la retta orizzontale $y=M$ interseca la parabola in due punti di ascissa $-\delta,+\delta$. Adesso sappiamo che $AA |x|>\delta f(x)>M$. Il minimo della funzione, dunque, sarà assunto in punto di ascissa compresa in $[-\delta,\delta]$ e avrà ordinata sicuramente $
Ci siamo ristretti ad un intervallo in cui la funzione è continua. Poi abbiamo utilizzato il th. di Weierstrass per affermare che in quell'intervallo hai la f ammette un minimo, ovvero e ti cito, " $EEx_0 \in [−\delta,\delta] " tale che ", AA x \in [−\delta,\delta]$ si ha $f(x_0)<=f(x)$". Ma il minimo locale trovato, per via del comportamento della funzione (non so come dirlo formalmente), sarà anche il minimo della funzione estesa a tutto $R$
Spero di essere stato più chiaro.
Per il primo esercizio ho semplicemente pensato questo: ( premettiamo che la notazione $\bar R=R uu -oo,+oo$)
Siccome la funzione è dispari ed il codominio è illimitato superiormente, allora sarà anche illimitato inferiormente. Noi dobbiamo dimostrare che esiste l'immagine, tramite la $f$ di tutti i valori in $R$. Tu hai dimostrato che, preso un elemento $y \in R$ esistono sempre due immagini tramite $f$, $y_1,y_2$, tali che $y_1 < y < y_2$. Adesso siccome a noi, per lavorare col teorema dei valori intermedi serve un intervallo in cui la $f$ è continua, prendiamo il generico intervallo da te chiamato $[y_1,y_2]$, e siccome essi sono valori arbitrari in $R$ allora $f(R)=R$. Tutto questo è vale proprio perché tu hai detto che il codominio della funzione è illimitato.
Per il secondo punto continuo a non capire. Ti mostro il grafico a parole. Immaginiamo una parabola con concavità verso l'alto, i cui limiti, per $x \to +-oo$ vanno entrambi a $+oo$. Prendo un valore soglia $M$ sull'asse delle ordinate (supponiamo che il vertice della parabola sia in un punto $(x=0,y)$ del piano cartesiano. Adesso la retta orizzontale $y=M$ interseca la parabola in due punti di ascissa $-\delta,+\delta$. Adesso sappiamo che $AA |x|>\delta f(x)>M$. Il minimo della funzione, dunque, sarà assunto in punto di ascissa compresa in $[-\delta,\delta]$ e avrà ordinata sicuramente $
Ci siamo ristretti ad un intervallo in cui la funzione è continua. Poi abbiamo utilizzato il th. di Weierstrass per affermare che in quell'intervallo hai la f ammette un minimo, ovvero e ti cito, " $EEx_0 \in [−\delta,\delta] " tale che ", AA x \in [−\delta,\delta]$ si ha $f(x_0)<=f(x)$". Ma il minimo locale trovato, per via del comportamento della funzione (non so come dirlo formalmente), sarà anche il minimo della funzione estesa a tutto $R$
Spero di essere stato più chiaro.
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