Funzioni continue
ciao ragazzi... vorrei un aiuto... come si dimostra che una funzione $f:RR->RR$ continua è determinata dai valori che assume su $QQ$... mi potete aiutare
grazie:::
grazie:::
Risposte
dato x, prendi una successione q_n di razionali che converge a x
essendo continua su $RR$, f(x) è il limite dei valori di f(q_n)...
essendo continua su $RR$, f(x) è il limite dei valori di f(q_n)...
grazie... e mi potresti dire come mai risulta il limite???
nn mi è chiaro
nn mi è chiaro
E' un esercizio sottile in effetti: devi anche dimostrare che il valore che dai a $f(x)$ non dipende dalla successione che scegli per approssimare $x$. Cio' segue sempre dalla continuita' di $f$ su $\RR$.
e potreste illuminarmi gentilmente???
una funzione da $RR$ in $RR$ è continua se e solo se:
$f(x) = \lim_{n \to oo} f(x_n)$ per ogni successione di numeri reali convergenti a $x$
basta osservare che:
- c'è almeno una successione di razionali che converge a $x$
- il limite non dipende da che successione si prende
quindi mi basta sapere cosa fa $f$ in $q_n$ (vedi post precedente)
$f(x) = \lim_{n \to oo} f(x_n)$ per ogni successione di numeri reali convergenti a $x$
basta osservare che:
- c'è almeno una successione di razionali che converge a $x$
- il limite non dipende da che successione si prende
quindi mi basta sapere cosa fa $f$ in $q_n$ (vedi post precedente)
il primo punto ok per la densità dei razionali ma per il secondo???
eddai, uno sforzo!
prendo un'altra successione $y_n->x$ e devo far vedere che $f(x)=lim f(y_n)$...
allora $|f(y_n)-f(x)|<|f(y_n)-f(x_n)|+|f(x_n)-f(x)|<\epsilon$ con $\epsilon$ opportuno... giusto???
allora $|f(y_n)-f(x)|<|f(y_n)-f(x_n)|+|f(x_n)-f(x)|<\epsilon$ con $\epsilon$ opportuno... giusto???
per me è molto più semplice
se prendo due successioni $x_n$ ed $y_n$ convergenti a $x$, ho che $f(x_n)$ e $f(y_n)$ tendono entrambe a $f(x)$ (grazie alla caratterizzazione della continuità mediante successioni, ovvero il teorema che citavo prima)
quindi è evidente che il limite non dipende da che successione (tendente a $x$) si prende
se prendo due successioni $x_n$ ed $y_n$ convergenti a $x$, ho che $f(x_n)$ e $f(y_n)$ tendono entrambe a $f(x)$ (grazie alla caratterizzazione della continuità mediante successioni, ovvero il teorema che citavo prima)
quindi è evidente che il limite non dipende da che successione (tendente a $x$) si prende
scusa fiorante un dubbio... come faccio a dimostrare che $f(q_n)$ converge a $f(x)$??
grazie alla continuità, come detto prima:
visto che prendo $q_n$ che tende a $x$, quella poveretta di $f(q_n)$ non ha scampo. Deve convergere a $f(x)$, che le piaccia o no!
"Fioravante Patrone":
$f(x) = \lim_{n \to oo} f(x_n)$ per ogni successione di numeri reali convergenti a $x$
visto che prendo $q_n$ che tende a $x$, quella poveretta di $f(q_n)$ non ha scampo. Deve convergere a $f(x)$, che le piaccia o no!
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