Funzioni continue.

[Kashaman]

Ho questo esercizio bello facile facile..
Es 1: Provare che la funzione $D$ di Dirichlet che vale $1 se x in QQ , 0 se x in RR\\QQ$ non è continua in alcun punto.

Procedo per assurdo. suppongo per assurdo che $D$ sia continua in ogni punto , cioè $AA x in RR$
In particolare dato $x_0 in RR$ qualsiasi. Voglio provare che $D$ è continua in $x_0$.
Cioè $AA \epsilon >0 EE \delta >0 t.c AA x in A : |x-x_0|<\delta => |f(x)-f(x_0)|<\epsilon $(1)
Se $x_0 in QQ (sube RR)$ allora $f(x_0)=1$, per definizione di $D$.
In particolare deve valere (1). Distinguo due sottocasi.
Se $x in QQ => f(x)=1 => |f(x)-f(x_0)|=|1-1|=0<\epsilon$ , ma se $x in RR => f(x)=0 => |f(x)-f(x_0)|=|-1|=1<\epsilon$ (2) Assurdo. Perché posso considerare $\epsilon $ sufficientemente piccoli tali che non valga la (2).
Pertanto , data l'arbitrarietà di $x_0$ , $D$ non è continua in alcun punto

Fatto schifezze? grazie mille


edit :
Ne aggiungo un'altro a stampo teorico.
Es 2 : Siano $f,g : A->RR$ , $Asube RR$ funzioni continue in $x_0$.
Allora anche $f+g$ è continua in $x_0$.

Sia $\epsilon >0$.
Poiché $f$ è continua in $x_0$ in corrispondenza di $\epsilon/2$
ho che
$EE \delta_1 >0 : AA x in A , |x-x_0|<\delta_1 => |f(x)-f(x_0)|<\epsilon/2$ (1)
Analogamente $g$ è continua in $x_0$ e in corrispondenza di $\epsilon/2$ ho che
$EE \delta_2>0 : AA x in A , |x-x_0|<\delta_2 => |g(x)-g(x_0)|<\epsilon/2$ (2)
Pongo $\delta = min {\delta_1, \delta_2}$ Allora valgono contemporaneamente la (1)e la (2), pertanto
$AA x in A : |f(x)+g(x) - (f(x_0)+g(x_0)|<= |f(x)-f(x_0)|+|g(x)-g(x_0)|< \epsilon/2+\epsilon/2 = \epsilon$ , il che , a norma di definizione implica che $f+g$ continua in $x_0$

[Gi81]

No, se dimostri per assurdo allora assumi che $EE x_0 in RR$ tale che $f$ è continua in $x_0$.
A questo punto distingui due casi: $x_0 in RR\\QQ$ e $x_0 in QQ$.

Il secondo caso è quello che hai scritto tu, mentre il primo cambia poco.
In pratica bisogna dimostrare che:
1) se $x_0in RR\\QQ$, comunque prendi $delta>0$ esiste $x in (x_0,x_0+delta)$ tale che $x in QQ$.
2) se $x_0in QQ$, comunque prendi $delta>0$ esiste $x in (x_0,x_0+delta)$ tale che $x in RR\\QQ$.

[Kashaman]

"Gi8":No, se dimostri per assurdo allora assumi che $EE x_0 in RR$ tale che $f$ è continua in $x_0$.
A questo punto distingui due casi: $x_0 in RR\\QQ$ e $x_0 in QQ$.

Il secondo caso è quello che hai scritto tu, mentre il primo cambia poco.
In pratica bisogna dimostrare che:
1) se $x_0in RR\\QQ$, comunque prendi $delta>0$ esiste $x in (x_0,x_0+delta)$ tale che $x in QQ$.
2) se $x_0in QQ$, comunque prendi $delta>0$ esiste $x in (x_0,x_0+delta)$ tale che $x in RR\\QQ$.

ciao Gi8, sono un po novello per quanto riguarda l'analisi in generale. Faccio una considerazione :
Ma 1) non è ovvio data la densità di $QQ$ in $RR$?
r 2) data la densità di $RR\\QQ$ in $RR$? in che modo mi garantiscono un'assurdo se mostro 1) e 2)?
grazie e scusa la domanda stupida

[Gi81]

Sì, certo, sono entrambe ovvie.

In entrambi i casi hai che $|x-x_0| Quindi, come hai scritto tu prima, non è vero che $AA epsilon >0$ si ha $|f(x)-f(x_0)|

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[Kashaman]

thanks Gi8, domani mattina vedo di formalizzare e mettere in chiaro un poco il tutto.. oggi non ho avuto molto tempo.
Invece per il secondo quesito che ne pensi, ti convince?

[Gi81]

Sì, il secondo quesito è corretto

[Sk_Anonymous]

Un rilancio difficilotto.