Funzioni concave e derivate

[daniele087]

Ciao,
avrei bisogno di una mano per tentare di capire questo esercizio:

Sia U una funzione di una variabile concava e g una funzione di una variabile non decrescente e concava.
Si assuma che entrambi g ed U siano differenziabili due volte. 
Dimostrare che la funzione f(x) =g(U(x)), per ogni x, è concava. 

Onestamente non so proprio dove mettere mano.
Grazie

[dissonance]

E invece è molto facile, perché tutte le tue funzioni sono derivabili a sufficienza. Se una funzione è derivabile due volte, essa è concava se e solo se ...

[gugo82]

Sbaglio o la derivabilità non serve a nulla?

Infatti:
\[
\begin{split}
f(\lambda x+ (1-\lambda) y) &= g(U(\lambda x+ (1-\lambda) y))\\
&\geq g (\lambda U(x)+ (1-\lambda) U(y))\\
&\geq \lambda g(U(x))+ (1-\lambda) g(U(y))\\
&=\lambda f(x)+ (1-\lambda) f(y)
\end{split}
\]
(per monotonia di $g$ e concavità di $g$ ed $U$), no?

[daniele087]

"dissonance":E invece è molto facile, perché tutte le tue funzioni sono derivabili a sufficienza. Se una funzione è derivabile due volte, essa è concava se e solo se ...

Se la sua derivata seconda è <= 0 credo.