Funzioni con Taylor
Salve 
Sono un ragazzo che tra breve dovrà sostenere un esame di Analisi.
Avrei bisogno di delucidazioni sul calcolo dei limiti con la formula di Taylor. Leggendo per il forum altri post ho visto che l'esecuzione del limite con Taylor è una cosa che va "ad occhio", ovvero non c'è una tecnica precisa che ci indica dove fermarci.
La mia domanda è questa: come mi accorgo che ho sbagliato l'esecuzione e come mi accorgo che invece ho fatto bene?
Il risultato di un limite con Taylor, generalmente, è un numero finito? (Tipo 3/4 o 2/3 o 1...) Oppure contiene delle x che poi , a seconda di dove tende il limite, vengono calcolate e quindi si deduce dove tenderà il limite?
Inoltre, avrei un esercizio che mi pare ostico, ma credo che non avrete problemi a risolverlo voi. Premetto che deve essere risolto con Taylor perchè così vuole il professore. Vi ringrazio fin d'ora per le risposte
Lim x>0:
x^2 * RAD(2-x) * sin^2(x)
-------------------------
2*LOG(cos(x)) + x * SIN(x)
RAD è la radice, sin^2(x) credo che corrisponda a sin(x^2) è una cosa che alle 4 di mattina mi sfugge e la -------- è la barra di frazione. La cosa che non riesco a fare, è l'eliminare o semplificare la radice. Per quanto riguarda le restanti sostituzioni ho pochi dubbi.
Questa breve spiegazione onde evitare qualsiasi equivoco!
Saluti e grazie per le risposte!
Sono un ragazzo che tra breve dovrà sostenere un esame di Analisi.
Avrei bisogno di delucidazioni sul calcolo dei limiti con la formula di Taylor. Leggendo per il forum altri post ho visto che l'esecuzione del limite con Taylor è una cosa che va "ad occhio", ovvero non c'è una tecnica precisa che ci indica dove fermarci.
La mia domanda è questa: come mi accorgo che ho sbagliato l'esecuzione e come mi accorgo che invece ho fatto bene?
Il risultato di un limite con Taylor, generalmente, è un numero finito? (Tipo 3/4 o 2/3 o 1...) Oppure contiene delle x che poi , a seconda di dove tende il limite, vengono calcolate e quindi si deduce dove tenderà il limite?
Inoltre, avrei un esercizio che mi pare ostico, ma credo che non avrete problemi a risolverlo voi. Premetto che deve essere risolto con Taylor perchè così vuole il professore. Vi ringrazio fin d'ora per le risposte
Lim x>0:
x^2 * RAD(2-x) * sin^2(x)
-------------------------
2*LOG(cos(x)) + x * SIN(x)
RAD è la radice, sin^2(x) credo che corrisponda a sin(x^2) è una cosa che alle 4 di mattina mi sfugge
e la -------- è la barra di frazione. La cosa che non riesco a fare, è l'eliminare o semplificare la radice. Per quanto riguarda le restanti sostituzioni ho pochi dubbi.Questa breve spiegazione onde evitare qualsiasi equivoco!
Saluti e grazie per le risposte!
Risposte
Quando x tende a 0, rad(2-x) tende a rad(2), nessun problema ; dovresti chiarire se è (sinx)^2 oppure sin(x^2).
Camillo
Camillo
apocalisse??????????? sei apocalisse apocalisse??? cioè apocalisse di apocanow????
Si giacor sono io
camillo è la seconda che hai detto. Nel compito è scritto sen^2x
prima il seno, poi il simbolo della potenza, poi la x.
Credo che equivalga a sen(x^2) se le mie conoscenze non mi ingannano.
Intendi dire che posso semplificare subito, oppure devo lasciare segnato RAD(2-x) durante lo svolgimento e poi semplificare alla fine?
In ogni caso hai delle risposte anche alle domande precedenti? Ti ringrazio da ora
camillo è la seconda che hai detto. Nel compito è scritto sen^2x
prima il seno, poi il simbolo della potenza, poi la x.
Credo che equivalga a sen(x^2) se le mie conoscenze non mi ingannano.
quote:
Quando x tende a 0, rad(2-x) tende a rad(2), nessun problema ;
Intendi dire che posso semplificare subito, oppure devo lasciare segnato RAD(2-x) durante lo svolgimento e poi semplificare alla fine?
In ogni caso hai delle risposte anche alle domande precedenti? Ti ringrazio da ora
UP! Aspetto una risposta
Eccoti la risposta
Senza dubbio vuol dire (sin x) alla seconda.
Sviluppa sin x con Taylor come : x-x^3/6 , allora (sinx)^2 sarà:
x^2-x^4/3 fermandosi ai termini in x^4.
Analogamente cosx vale : 1-x^2/2 sempre con sviluppo di Taylor e
infine log(1+x) si sviluppa in : x-x^2/2 e quindi di conseguenza lo
sviluppo di :
log(cosx) =log(1-x^2/2) vale : -x^2/2 -x^4/8.
x sinx va pure sviluppato ottenendo : x^2-x^4/6.
A questo punto il limite diventa :
numeratore : sqrt(2)x^2* (x^2-x^4/3); ma è inutile sviluppare oltre
ai termini in x^4 e quindi lo sviluppo diventa : sqrt(2)*x^4 .
denominatore : 2[-x^2/2-x^4/8]+x^2-x^4/6 = -x^4/4-x^4/6 = -5x^4/12
e il limite complessivo :
[sqrt(2)*x^4]/[-5x^4/12] che vale : -12sqrt(2)/5.
Come fare lo si impara proprio con l'esperienza : il segreto è
sviluppare tanti termini quanti servono ma non più del necessario ,
considerando che numeratore e denominatori devono essere sviluppati
in modo congruente tra loro .
In questo esercizio è fondamentale sviluppare tutto quanto c'è da
sviluppare ma solo fino al 4 ordine , andare oltre non serve , ecco
perchè al numeratore lo sviluppo di (sinx)^2 viene troncato al
termine -x^4/3,ci sarebbe ovviamnete anche x^6/36 , ma non è utile
farlo, il denominatore non lo richiede per così dire.
Se non ti è chiaro come abbia sviluppato log(cosx) dimmelo .
Camillo
P.S come vedi il limite alla fine contiene "delle x" ma considerando che poi si semplificano si arriva al risultato numerico.
Una cosa importante . tutto quanto detto e fatto sopra , cioè gli sviluppi scritti valgono PER X CHE TENDE A 0 !!!! non ad esempio se x tende ad infinito . In tal caso se vuoi usare Taylor puoi fare un cambiamento di variabile , ponendo t=1/x e allora quando x tende all'inf , t tende a 0 e puoi usare gli sviluppi di Taylor .
Senza dubbio vuol dire (sin x) alla seconda.
Sviluppa sin x con Taylor come : x-x^3/6 , allora (sinx)^2 sarà:
x^2-x^4/3 fermandosi ai termini in x^4.
Analogamente cosx vale : 1-x^2/2 sempre con sviluppo di Taylor e
infine log(1+x) si sviluppa in : x-x^2/2 e quindi di conseguenza lo
sviluppo di :
log(cosx) =log(1-x^2/2) vale : -x^2/2 -x^4/8.
x sinx va pure sviluppato ottenendo : x^2-x^4/6.
A questo punto il limite diventa :
numeratore : sqrt(2)x^2* (x^2-x^4/3); ma è inutile sviluppare oltre
ai termini in x^4 e quindi lo sviluppo diventa : sqrt(2)*x^4 .
denominatore : 2[-x^2/2-x^4/8]+x^2-x^4/6 = -x^4/4-x^4/6 = -5x^4/12
e il limite complessivo :
[sqrt(2)*x^4]/[-5x^4/12] che vale : -12sqrt(2)/5.
Come fare lo si impara proprio con l'esperienza : il segreto è
sviluppare tanti termini quanti servono ma non più del necessario ,
considerando che numeratore e denominatori devono essere sviluppati
in modo congruente tra loro .
In questo esercizio è fondamentale sviluppare tutto quanto c'è da
sviluppare ma solo fino al 4 ordine , andare oltre non serve , ecco
perchè al numeratore lo sviluppo di (sinx)^2 viene troncato al
termine -x^4/3,ci sarebbe ovviamnete anche x^6/36 , ma non è utile
farlo, il denominatore non lo richiede per così dire.
Se non ti è chiaro come abbia sviluppato log(cosx) dimmelo .
Camillo
P.S come vedi il limite alla fine contiene "delle x" ma considerando che poi si semplificano si arriva al risultato numerico.
Una cosa importante . tutto quanto detto e fatto sopra , cioè gli sviluppi scritti valgono PER X CHE TENDE A 0 !!!! non ad esempio se x tende ad infinito . In tal caso se vuoi usare Taylor puoi fare un cambiamento di variabile , ponendo t=1/x e allora quando x tende all'inf , t tende a 0 e puoi usare gli sviluppi di Taylor .
Naturalmente per correttezza tutti gli sviluppi di Taylor da me indicati vanno completati con: più o piccolo di...; ad es
log(1+x)=x-x^2/2 +o(x^2).
Per chiarire quando fermarsi , sempre con riferimento al tuo esercizio, considera al numeratore (sinx)^2; si è già commentato il fatto che non è necessario arrivare fino agli addendi di termine x^6.
Bene , allora essendo sinx=x-x^3/6+o(x^3)si potrebbe pensare di limitarsi a sinx=x+o(x) , in quanto,usando la forma completa si otterrebbe, elevando al quadrato, il termine x^6/36 che "non serve" .
Sarebbe un errore perchè così si perderebbe il doppio prodotto, cioè
-x^4/6 e noi abbiamo bisogno di tutti i termini del tipo x^4.
Bisogna dunque scrivere : sin x = x-x^3/6 e poi quando si eleva al quadrato trascurare il termine in x^6.
Camillo
log(1+x)=x-x^2/2 +o(x^2).
Per chiarire quando fermarsi , sempre con riferimento al tuo esercizio, considera al numeratore (sinx)^2; si è già commentato il fatto che non è necessario arrivare fino agli addendi di termine x^6.
Bene , allora essendo sinx=x-x^3/6+o(x^3)si potrebbe pensare di limitarsi a sinx=x+o(x) , in quanto,usando la forma completa si otterrebbe, elevando al quadrato, il termine x^6/36 che "non serve" .
Sarebbe un errore perchè così si perderebbe il doppio prodotto, cioè
-x^4/6 e noi abbiamo bisogno di tutti i termini del tipo x^4.
Bisogna dunque scrivere : sin x = x-x^3/6 e poi quando si eleva al quadrato trascurare il termine in x^6.
Camillo
Ciao!
Tutto molto esauriente, ma svolgendo da solo la funzione non mi ridà un passaggio:
Il mio denominatore esce: 2[-x^2/2+x^4/4]+ ......
Ecco come sono arrivato a tale risultato:
1° = 2log(cosx) + ...
2° = 2*log(1-x^2/2) + ...
3° = 2*log(1+t) + .... dove t = -x^2/2
4° = 2*(t-t^2/2)
Sviluppando la t.....
5° = 2* (-x^2/2 - (-x^2/2)/2)
6° = 2* (-x^2/2 + x^2/4)
Sbaglio qualcosa?....
Tutto molto esauriente, ma svolgendo da solo la funzione non mi ridà un passaggio:
quote:
denominatore : 2[-x^2/2-x^4/8]+x^2-x^4/6 = -x^4/4-x^4/6 = -5x^4/12
Il mio denominatore esce: 2[-x^2/2+x^4/4]+ ......
Ecco come sono arrivato a tale risultato:
1° = 2log(cosx) + ...
2° = 2*log(1-x^2/2) + ...
3° = 2*log(1+t) + .... dove t = -x^2/2
4° = 2*(t-t^2/2)
Sviluppando la t.....
5° = 2* (-x^2/2 - (-x^2/2)/2)
6° = 2* (-x^2/2 + x^2/4)
Sbaglio qualcosa?....
L'ultimo passaggio è :
2[-x^2/2-(1/2)(x^4/4)) = -x^2-x^4/4.
Camillo
Quando hai l'esame di analisi ? dove ?
2[-x^2/2-(1/2)(x^4/4)) = -x^2-x^4/4.
Camillo
Quando hai l'esame di analisi ? dove ?
L'esame di analisi devo farlo a L'Aquila, facoltà di Scienze dell'Informatica. Tra 9 giorni esatti...e devo ancora studiare serie successioni e integrali...speriamo bene! E' un esame che blocca ben 10 esami di cui acquisisco la frequenza ora...non posso assolutamente fallire!
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Un'ultima domanda e poi ci siamo.....spesso ti ho visto nell'esecuzione tagliare di sana pianta pezzi di sviluppo che andavano oltre il grado 4 della x.
Tipo x^2/36 , che effettivamente usciva nello sviluppo del sen del numeratore, tu l'hai "eliminato". E' possibile fare ciò? Cioè, se mi impongo di non andare oltre il grado 4, posso troncare tutte le parti di sviluppo che lo superano?
Ringrazio anticipatamente! Grazie di tutto
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Un'ultima domanda e poi ci siamo.....spesso ti ho visto nell'esecuzione tagliare di sana pianta pezzi di sviluppo che andavano oltre il grado 4 della x.
Tipo x^2/36 , che effettivamente usciva nello sviluppo del sen del numeratore, tu l'hai "eliminato". E' possibile fare ciò? Cioè, se mi impongo di non andare oltre il grado 4, posso troncare tutte le parti di sviluppo che lo superano?
Ringrazio anticipatamente! Grazie di tutto
Probabilmente volevi dire x^6/36 ; in questi casi andrebbe messo al posto degli elementi che tagli +o(x^4) se x^4 è il termine massimo che consideri.
Camillo
Camillo
Bene. E poi questa notazione come viene semplificata? Oppure sparisce appena raggiungo la semplificazione finale?
In ogni caso, con la correzione del denominatore, e seguendo il tuo svolgimento, la funzione mi ridà -(3 * RAD(2)) / 2
Sei daccordo?
Ringrazio fin d'ora per la risposta!
In ogni caso, con la correzione del denominatore, e seguendo il tuo svolgimento, la funzione mi ridà -(3 * RAD(2)) / 2
Sei daccordo?
Ringrazio fin d'ora per la risposta!
No,non sono d'accordo...
Dunque il denominatore completo vale : -x^2-(x^4)/4 +x^2-(x^4)/6 +
+o(x^6)=-5(x^4)/12+o(x^6).
Il numeratore completo vale : sqrt(2)x^4+o(x^4).
Quindi il limite da calcolare per x che tende a 0 è :
[sqrt(2)x^4+o(x^4)]/[-5(x^4)/12 +o(x^4)]
ma gli o(x^4),infinitesimi di ordine superiore a x^4 ,vanno a 0 più rapidamente dei termini in x^4 e quindi il tuo limite diventa :
[sqrt(2)x^4]/[-5(x^4)/12]= -12sqrt(2)/5.
OK ?
Lo scritto di analisi di che tipo di esercizi consiste ?
Camillo
Dunque il denominatore completo vale : -x^2-(x^4)/4 +x^2-(x^4)/6 +
+o(x^6)=-5(x^4)/12+o(x^6).
Il numeratore completo vale : sqrt(2)x^4+o(x^4).
Quindi il limite da calcolare per x che tende a 0 è :
[sqrt(2)x^4+o(x^4)]/[-5(x^4)/12 +o(x^4)]
ma gli o(x^4),infinitesimi di ordine superiore a x^4 ,vanno a 0 più rapidamente dei termini in x^4 e quindi il tuo limite diventa :
[sqrt(2)x^4]/[-5(x^4)/12]= -12sqrt(2)/5.
OK ?
Lo scritto di analisi di che tipo di esercizi consiste ?
Camillo
Ciao
Hai ragione! Adesso mi ridà. Mi mangiavo sempre un denominatore che mi dava 2 invece di 4, ma adesso ho capito l'errore.
La tecnica è acquisita, grazie a te)
Ti scrivo la url di un compito fac-simile che potrebbe dare all'esame:
http://univaq.it/%7Eamadori/did-0304/es ... -lug05.pdf
So fare tutto tranne serie e successioni (che studierò oggi con un amico che ha passato già l'esame) e gli integrali. Mancano solo 8 giorni all'esame, ma la cosa non mi preoccupa molto perchè apprendo abbastanza in fretta, oltrechè le cose che studio non mi sono nuove, dato che vengo dall'ITIS... Grazie di tutto! Se hai altre domande riguardo al corso di laurea sono qui, ed io se ho altri dubbi scrivo di nuovo! Ciao e grazie!!!
Hai ragione! Adesso mi ridà. Mi mangiavo sempre un denominatore che mi dava 2 invece di 4, ma adesso ho capito l'errore.
La tecnica è acquisita, grazie a te
)Ti scrivo la url di un compito fac-simile che potrebbe dare all'esame:
http://univaq.it/%7Eamadori/did-0304/es ... -lug05.pdf
So fare tutto tranne serie e successioni (che studierò oggi con un amico che ha passato già l'esame) e gli integrali. Mancano solo 8 giorni all'esame, ma la cosa non mi preoccupa molto perchè apprendo abbastanza in fretta, oltrechè le cose che studio non mi sono nuove, dato che vengo dall'ITIS...
Grazie di tutto! Se hai altre domande riguardo al corso di laurea sono qui, ed io se ho altri dubbi scrivo di nuovo! Ciao e grazie!!!
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