Funzioni con parametri
Sia f la funzione definita in tutto R nel modo seguente
f(x) = e^Ax − cos(x) in [0, +∞) e
f(x) = x^2 + Bx + B in (−∞,0). dove A, B sono due parametri reali.
Per quali valori dei parametri f risulta continua in tutto R?
Per quali valori dei parametri f risulta derivabile in tutto R ?
Come risolvo i problemi?
f(x) = e^Ax − cos(x) in [0, +∞) e
f(x) = x^2 + Bx + B in (−∞,0). dove A, B sono due parametri reali.
Per quali valori dei parametri f risulta continua in tutto R?
Per quali valori dei parametri f risulta derivabile in tutto R ?
Come risolvo i problemi?
Risposte
"Paolovox":
Sia $f(x)$ la funzione definita in tutto $RR$ nel modo seguente
$f(x)={ ( x^2 + Bx + B if x in (−∞,0) ),( e^(Ax) − cos(x) if x in [0,+oo) ):}$
dove $A$, $B$ sono due parametri reali.
Per quali valori dei parametri $f(x)$ risulta continua in tutto $RR$?
Per quali valori dei parametri $f(x)$ risulta derivabile in tutto $RR$ ?
Come risolvo i problemi?
Ciao Paolovox e benvenuto
Prima una cosa: clicca qui per vedere come scrivere le formule al fine di visualizzarle correttamente - in sostanza nei casi più semplici basta scriverle tra due simboli di dollaro $$$: clicca sul "cita" di questo mio post per visualizzarne un esempio.
Passiamo ora al tuo esercizio: hai qualche idea su come procedere? Le definizioni di continuità e derivabilità di funzione a una variabile reale come possono esserti d'aiuto?
Il teorema di continuità asserisce che se $f(x)$ è derivabile in $x_0$ $->$ $f(x)$ è anche continua in $x_0$. Viceversa non è sempre vero. Forse si procedere controllando la continuità di entrambe in 0, dato che la funzione al più potrebbe non essere continua in 0?
Grazie e mi scuso per non essermi presentato. Appena posso approfondisco il LaTex
Grazie e mi scuso per non essermi presentato. Appena posso approfondisco il LaTex
Forse ho capito con un esempio banale fatto da me:
Il punto in cui si potrebbe verificare una discontinuità è in $0$ allora vi si studia la continuità:
$lim_(h->0^+) (2+x) = 2 $
$lim_(h->0^-) (x+a+2) = 2+a $
$f(x)$ dovrebbe essere continua in tutto il suo dominio $harr$ $2+a = 2$ ovvero $a = 0$.
E' giusto il ragionamento?
$f(x)={ ( 2+x if x in [ 0,+oo) ),( x+a+2 if x in (-oo,0) ):}$
Il punto in cui si potrebbe verificare una discontinuità è in $0$ allora vi si studia la continuità:
$lim_(h->0^+) (2+x) = 2 $
$lim_(h->0^-) (x+a+2) = 2+a $
$f(x)$ dovrebbe essere continua in tutto il suo dominio $harr$ $2+a = 2$ ovvero $a = 0$.
E' giusto il ragionamento?
Direi proprio di si...
per la derivabilità vale lo stesso ragionamento?
"Paolovox":
$f(x)={ ( 2+x if x in [ 0,+oo) ),( x+a+2 if x in (-oo,0) ):}$
Il punto in cui si potrebbe verificare una discontinuità è in $0$ allora vi si studia la continuità:
[...]
$f(x)$ dovrebbe essere continua in tutto il suo dominio $harr$ $2+a = 2$ ovvero $a = 0$.
Ok direi che per la continuità hai capito
Per la derivabilità il ragionamento è analogo: studi la derivata prima nei due intervalli e controlli dove essa è definita, aiutandoti anche qui con i limiti. Rammenta che, come hai detto precedentemente, laddove la funzione è continua potrebbe non essere derivabile, quindi potrebbero emergere ulteriori punti di discontinuità - esempio banale:
$f(x)=|x|$
Questa funzione è sicuramente continua in tutto $RR$, ma non è derivabile in $x_0=0$ poiché i limiti destro e sinistro della derivata prima sono diversi:
$lim_(x->0^+) (text(d)|x|)/(text(d)x)=|x|/x=1$
$lim_(x->0^-) (text(d)|x|)/(text(d)x)=|x|/x=-1$
mi trovo che:
$lim_(x->0^+) (e^Ax+sin(x)) = 1$
$lim_(x->0^-) (2x+B) = B$
Come faccio a capire per quali valori dei parametri risulta derivabile?
$lim_(x->0^+) (e^Ax+sin(x)) = 1$
$lim_(x->0^-) (2x+B) = B$
Come faccio a capire per quali valori dei parametri risulta derivabile?
Scusa Paolovox, ma mi manca qualcosa in quello che scrivi. Per la derivabilità in un punto $x_0$ fissato devi verificare che i due limiti
$$\lim_{h\to 0^{\pm}}\frac{f(x_0+h)-f(x_0)}{h}$$
esistano finiti e siano uguali.
Ora, il problema è il punto $x_0=0$: prima di tutto devi imporre la condizione di continuità, per cui dovresti trovare $B=0$ (prova). A questo punto, usare i due limiti che dicevo prima per la derivabilità (ponendo già $B=0$) e facendo attenzione ad usare la prima definizione di $f$ quando $h\to 0^-$ e la seconda quando $h\to 0^+$(come le ha scritte Brancaleone)
$$\lim_{h\to 0^{\pm}}\frac{f(x_0+h)-f(x_0)}{h}$$
esistano finiti e siano uguali.
Ora, il problema è il punto $x_0=0$: prima di tutto devi imporre la condizione di continuità, per cui dovresti trovare $B=0$ (prova). A questo punto, usare i due limiti che dicevo prima per la derivabilità (ponendo già $B=0$) e facendo attenzione ad usare la prima definizione di $f$ quando $h\to 0^-$ e la seconda quando $h\to 0^+$(come le ha scritte Brancaleone)
Allora la condizione di continuità è da verificare nell punto $x=0$.
$lim_(x->0^+) e^(Ax)-cos(x) = 0$
$lim_(x->0^+) x^2+Bx+B = B$
ciò implica che $B$ debba essere uguale a $0$ mentre $A$ $AA$$x$ $in$ $RR$
$lim_(x->0^+) e^(Ax)-cos(x) = 0$
$lim_(x->0^+) x^2+Bx+B = B$
ciò implica che $B$ debba essere uguale a $0$ mentre $A$ $AA$$x$ $in$ $RR$
Quindi per la condizione di derivabilità si deve verificare
$lim_(x->0^+) (e^Ax+sin(x)) $ $==$ $lim_(x->0^-) (2x+B) $ ?
$lim_(x->0^+) (e^Ax+sin(x)) $ $==$ $lim_(x->0^-) (2x+B) $ ?
Ma hai letto ciò che ho scritto? Perché c'è ancora la $B$, se abbiamo detto che $B=0$? E perché non usi il rapporto incrementale? Le condizioni giuste sono le seguenti
$$\lim_{h\to 0^-}\frac{h^2}{h}=\lim_{h\to 0^+}\frac{e^{Ah}-\cos(h)}{h}$$
Tra l'altro tu hai cercato di imporre condizioni alle due derivate, che potrebbe pure andare bene, ma allora per la derivata con l'esponenziale e il coseno si dovrebbe avere $Ae^{Ax}+\sin x$, non ti pare?
$$\lim_{h\to 0^-}\frac{h^2}{h}=\lim_{h\to 0^+}\frac{e^{Ah}-\cos(h)}{h}$$
Tra l'altro tu hai cercato di imporre condizioni alle due derivate, che potrebbe pure andare bene, ma allora per la derivata con l'esponenziale e il coseno si dovrebbe avere $Ae^{Ax}+\sin x$, non ti pare?
ok ho capito ma se esiste finito il limite della derivata, allora la funzione è derivabile ?
Mi chiedo se tu conosca la definizione di derivabilità...
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