Funzioni complesse a variabili complesse
Salve, vorrei una spiegazione su cosa sono davvero queste funzioni.
Il mio libro dice che f(z) = f(x,y) = u(x,y) + i*v(x,y)
"x" e "y" sono variabili reali
u(x,y) e v(x,y) sono 2 funzioni reali ? (immagino funzioni a 2 variabili).
Se questo è vero, allora che differenza c'è tra queste e le funzioni complesse a variabile reale?
Cambia che lì la variabile è soltanto una?
Inoltre googlando ho trovato scritto che le funzioni "x" e "y" formano il numero complesso z (immagino nella solita forma x +i*y) ma se questo fosse vero, allora perchè il mio libro asserisce che u e v sono funzioni reali se formate da numeri complessi?
O qualcuno ha sbagliato o non ho capito un'acca. Mi spighereste bene questa storia e la differenza tra funzioni complesse a variabili complesse e funzioni complesse a variabili reali? Grazie 1000
Il mio libro dice che f(z) = f(x,y) = u(x,y) + i*v(x,y)
"x" e "y" sono variabili reali
u(x,y) e v(x,y) sono 2 funzioni reali ? (immagino funzioni a 2 variabili).
Se questo è vero, allora che differenza c'è tra queste e le funzioni complesse a variabile reale?
Cambia che lì la variabile è soltanto una?
Inoltre googlando ho trovato scritto che le funzioni "x" e "y" formano il numero complesso z (immagino nella solita forma x +i*y) ma se questo fosse vero, allora perchè il mio libro asserisce che u e v sono funzioni reali se formate da numeri complessi?
O qualcuno ha sbagliato o non ho capito un'acca. Mi spighereste bene questa storia e la differenza tra funzioni complesse a variabili complesse e funzioni complesse a variabili reali? Grazie 1000
Risposte
Innanzitutto, si dice funzioni complesse di variabile complessa (il complemento è di specificazione).
Poi chiaramente, visto che [tex]$f$[/tex] assume valori complessi, puoi rappresentare [tex]$f(z)$[/tex] in maniera algebrica, ossia:
[tex]$f(z)=\Re e\ f(z)+\imath\ \Im m\ f(z)$[/tex]
con [tex]$\Re e\ f(z),\ \Im m\ f(z) \in \mathbb{R}$[/tex]; se poni per definizione:
[tex]$U(z):=\Re e\ f(z)$[/tex] e [tex]$V(z):=\Im m\ f(z)$[/tex]
è chiaro che le due funzioni [tex]$U,\ V$[/tex] della variabile complessa assumono valori reali e che [tex]$f(z)=U(z)+\imath\ V(z)$[/tex].
Infine, ricordi che [tex]$z=\Re e\ z+\imath\ \Im m\ z$[/tex], cosicché posto [tex]$x:=\Re e\ z,\ y:=\Im m\ z \in \mathbb{R}$[/tex] hai [tex]$z=x+\imath\ y$[/tex] e puoi identificare le due funzioni [tex]$U(z)=U(x+\imath\ y),\ V(z):=V(x+\imath\ y)$[/tex] con due applicazioni [tex]$u(x,y),\ v(x,y)$[/tex] dipendenti dal valore delle due variabili reali [tex]$x,\ y$[/tex]; in altre parole puoi certamente determinare [tex]$u,\ v$[/tex] in modo che:
[tex]$U(x+\imath\ y)=u(x,y)$[/tex] e [tex]$V(x+\imath\ y)=v(x,y)$[/tex].
Ne consegue che:
[tex]$f(z)=u(x,y)+\imath\ v(x,y)$[/tex]
e le due funzioni reali di due variabili reali [tex]$u,\ v$[/tex] sono dette rispettivamente parte reale e coefficiente della parte immaginaria di [tex]$f$[/tex].
Quindi, così come c'è un'isomorfismo tra [tex]$\mathbb{C}$[/tex] ed [tex]$\mathbb{R}^2$[/tex], c'è pure una sorta di isomorfismo tra l'insieme delle applicazioni [tex]$\mathbb{C}\to \mathbb{C}$[/tex] (di [tex]$\mathbb{C}$[/tex] in sé) e tra i campi vettoriali [tex]$\mathbb{R}^2\to \mathbb{R}^2$[/tex] (definiti nel piano [tex]$\mathbb{R}^2$[/tex]).
Poi chiaramente, visto che [tex]$f$[/tex] assume valori complessi, puoi rappresentare [tex]$f(z)$[/tex] in maniera algebrica, ossia:
[tex]$f(z)=\Re e\ f(z)+\imath\ \Im m\ f(z)$[/tex]
con [tex]$\Re e\ f(z),\ \Im m\ f(z) \in \mathbb{R}$[/tex]; se poni per definizione:
[tex]$U(z):=\Re e\ f(z)$[/tex] e [tex]$V(z):=\Im m\ f(z)$[/tex]
è chiaro che le due funzioni [tex]$U,\ V$[/tex] della variabile complessa assumono valori reali e che [tex]$f(z)=U(z)+\imath\ V(z)$[/tex].
Infine, ricordi che [tex]$z=\Re e\ z+\imath\ \Im m\ z$[/tex], cosicché posto [tex]$x:=\Re e\ z,\ y:=\Im m\ z \in \mathbb{R}$[/tex] hai [tex]$z=x+\imath\ y$[/tex] e puoi identificare le due funzioni [tex]$U(z)=U(x+\imath\ y),\ V(z):=V(x+\imath\ y)$[/tex] con due applicazioni [tex]$u(x,y),\ v(x,y)$[/tex] dipendenti dal valore delle due variabili reali [tex]$x,\ y$[/tex]; in altre parole puoi certamente determinare [tex]$u,\ v$[/tex] in modo che:
[tex]$U(x+\imath\ y)=u(x,y)$[/tex] e [tex]$V(x+\imath\ y)=v(x,y)$[/tex].
Ne consegue che:
[tex]$f(z)=u(x,y)+\imath\ v(x,y)$[/tex]
e le due funzioni reali di due variabili reali [tex]$u,\ v$[/tex] sono dette rispettivamente parte reale e coefficiente della parte immaginaria di [tex]$f$[/tex].
Quindi, così come c'è un'isomorfismo tra [tex]$\mathbb{C}$[/tex] ed [tex]$\mathbb{R}^2$[/tex], c'è pure una sorta di isomorfismo tra l'insieme delle applicazioni [tex]$\mathbb{C}\to \mathbb{C}$[/tex] (di [tex]$\mathbb{C}$[/tex] in sé) e tra i campi vettoriali [tex]$\mathbb{R}^2\to \mathbb{R}^2$[/tex] (definiti nel piano [tex]$\mathbb{R}^2$[/tex]).
Ciao gugo, grazie per la risposta; vediamo se ho capito, provo a riassumere i miei confusi pensieri.
Le 2 funzioni U e V che il mio libro dice essere reali in realtà sono su variabile complessa z = x+i*y (giustamente altrimenti che funzioni di variabili complesse sarebbe), giacchè come hai scritto
[tex]$U(z)=U(x+\imath\ y),\ V(z):=V(x+\imath\ y)$[/tex]
tuttavia per la storia dell'isoformismo tra C e R^2 si può anche dire che le 2 funzioni sono reali anche se esse sono su una variabile complessa (tuttavia non ne vedo il motivo, mi confonde questa storia).
Poi avrei 2 domande:
Nella definizione di wikipedia delle funzioni complesse di variabili complesse parla di 2 sottoinsiemi del piano complesso, usato uno come dominio e uno come codominio, sono per l'appunto U e V giusto?
Infine, per la loro rappresentazione non è possibile perchè essendo in sintesi 2 funzioni a 2 variabili, occorrerebbe un grafico 4D non apprezzabile dell'occhio umano, infatti il mio libro suggerisce di rappresentare sempre la parte reale e immaginaria del numero complesso z che forma le funzioni U e V + una tra parte reale f(z), immaginaria f(z), modulo f(z), argomento f(z)
Concordi o smentisci?
Le 2 funzioni U e V che il mio libro dice essere reali in realtà sono su variabile complessa z = x+i*y (giustamente altrimenti che funzioni di variabili complesse sarebbe), giacchè come hai scritto
[tex]$U(z)=U(x+\imath\ y),\ V(z):=V(x+\imath\ y)$[/tex]
tuttavia per la storia dell'isoformismo tra C e R^2 si può anche dire che le 2 funzioni sono reali anche se esse sono su una variabile complessa (tuttavia non ne vedo il motivo, mi confonde questa storia).
Poi avrei 2 domande:
Nella definizione di wikipedia delle funzioni complesse di variabili complesse parla di 2 sottoinsiemi del piano complesso, usato uno come dominio e uno come codominio, sono per l'appunto U e V giusto?
Infine, per la loro rappresentazione non è possibile perchè essendo in sintesi 2 funzioni a 2 variabili, occorrerebbe un grafico 4D non apprezzabile dell'occhio umano, infatti il mio libro suggerisce di rappresentare sempre la parte reale e immaginaria del numero complesso z che forma le funzioni U e V + una tra parte reale f(z), immaginaria f(z), modulo f(z), argomento f(z)
Concordi o smentisci?
Scusa mishima, ma per te cos'è una funzione reale?
No, perchè pare che il problema sia tutto lì.
Per quanto riguarda la prima domanda, lascia stare WIKIpedia; apri un libro piuttosto.
Per la seconda, la rappresentazione grafica da usare dipende molto dallo scopo cui essa serve. Prova a dare un'occhiata a Needham, Visual Complex Analysis.
No, perchè pare che il problema sia tutto lì.
Per quanto riguarda la prima domanda, lascia stare WIKIpedia; apri un libro piuttosto.
Per la seconda, la rappresentazione grafica da usare dipende molto dallo scopo cui essa serve. Prova a dare un'occhiata a Needham, Visual Complex Analysis.
Una funzione reale non è una funzione il cui valori (codominio) appartengono all'insieme dei numeri reali R ?
Esatto.
E allora non capisco il tuo dubbio.
Voglio dire, il tuo libro dice che [tex]$u(x,y),\ v(x,y)$[/tex] sono due funzioni reali di variabili reali e che [tex]$f(z)$[/tex] si identifica col campo vettoriale [tex]$(u(x,y),v(x,y))$[/tex] o, ciò che è lo stesso, con [tex]$u(x,y)+\imath\ v(x,y)$[/tex]; questo è quello che ho detto pure io e che dici pure tu nel tuo penultimo post.
Invece, se [tex]$f(x)$[/tex] è una funzione complessa di una variabile reale si avrà certamente [tex]$f(x)=u(x)+\imath\ v(x)$[/tex], quindi [tex]$f$[/tex] può essere identificata con la coppia [tex]$(u(x),v(x))$[/tex] che non è un campo vettoriale (è una curva, se [tex]$u,v$[/tex] sono continue).
Quindi, in soldoni, le funzioni a valori complessi di una variabile reale si rappresentano come:
[tex]$f(x)=u(x)+\imath\ v(x)$[/tex],
mentre le funzioni complesse di una variabile complessa si rappresentano come:
[tex]$f(z)=u(x,y)+\imath\ v(x,y)$[/tex].
E allora non capisco il tuo dubbio.
Voglio dire, il tuo libro dice che [tex]$u(x,y),\ v(x,y)$[/tex] sono due funzioni reali di variabili reali e che [tex]$f(z)$[/tex] si identifica col campo vettoriale [tex]$(u(x,y),v(x,y))$[/tex] o, ciò che è lo stesso, con [tex]$u(x,y)+\imath\ v(x,y)$[/tex]; questo è quello che ho detto pure io e che dici pure tu nel tuo penultimo post.
Invece, se [tex]$f(x)$[/tex] è una funzione complessa di una variabile reale si avrà certamente [tex]$f(x)=u(x)+\imath\ v(x)$[/tex], quindi [tex]$f$[/tex] può essere identificata con la coppia [tex]$(u(x),v(x))$[/tex] che non è un campo vettoriale (è una curva, se [tex]$u,v$[/tex] sono continue).
Quindi, in soldoni, le funzioni a valori complessi di una variabile reale si rappresentano come:
[tex]$f(x)=u(x)+\imath\ v(x)$[/tex],
mentre le funzioni complesse di una variabile complessa si rappresentano come:
[tex]$f(z)=u(x,y)+\imath\ v(x,y)$[/tex].
Già, qualcosa non va, mi manca qualcosa per capire.
Dunque, prendiamo in analisi f(z) = u(x, y) + i*v(x,y), anzi, solo la parte reale di questa funzione tanto il discorso è lo stesso per l'immaginaria.
La funzione u(x, y) è reale quindi il suo valore, o codominio, appartiene a R. La tratterò come una funzione a due variabili reali, quindi con i metodi apposito per questo genere di funzioni (ad esempio la derivata si calcola in maniera diversa rispetto alle funzioni a 1 variabile, rispetto x e y).
Purtroppo ora viene il problema. La variabile complessa dove sta se fino ad ora ho parlato solo di variabili reali? x e y vengono combinate nella forma z=x+i*y in modo che la funzione sia f(z) = f(x+i*y)
E qui mi blocco perchè se la variabili di base, x e y, vengono combinate formando un numero complesso, come fa la funzione f(z), che è la nostra u(x, y), a essere reale se gli elementi del suo dominio sono complessi?
Non so se sia corretto ma trovo strano che da variabile complessa si arrivi a funzione a valori reali, in genere si passa da un insieme più piccolo a uno piu' grande (da N a Z a R a C) non il contrario.
Comunque ho notato ora che nel tuo primo post hai diversificato U grande e u piccolo, che differenza intendevi sottolineare?
Dunque, prendiamo in analisi f(z) = u(x, y) + i*v(x,y), anzi, solo la parte reale di questa funzione tanto il discorso è lo stesso per l'immaginaria.
La funzione u(x, y) è reale quindi il suo valore, o codominio, appartiene a R. La tratterò come una funzione a due variabili reali, quindi con i metodi apposito per questo genere di funzioni (ad esempio la derivata si calcola in maniera diversa rispetto alle funzioni a 1 variabile, rispetto x e y).
Purtroppo ora viene il problema. La variabile complessa dove sta se fino ad ora ho parlato solo di variabili reali? x e y vengono combinate nella forma z=x+i*y in modo che la funzione sia f(z) = f(x+i*y)
E qui mi blocco perchè se la variabili di base, x e y, vengono combinate formando un numero complesso, come fa la funzione f(z), che è la nostra u(x, y), a essere reale se gli elementi del suo dominio sono complessi?
Non so se sia corretto ma trovo strano che da variabile complessa si arrivi a funzione a valori reali, in genere si passa da un insieme più piccolo a uno piu' grande (da N a Z a R a C) non il contrario.
Comunque ho notato ora che nel tuo primo post hai diversificato U grande e u piccolo, che differenza intendevi sottolineare?
Mishima, sinceramente non capisco... Cioè, non capisco se il problema te lo creano le variabili o i valori assunti dalla funzione.
Ad ogni modo, ti posto un esempio, così probabile che si riesca ad intavolare un discorso più costruttivo.
Prendiamo la funzione [tex]$f:\mathbb{C}\ni z\mapsto z^2 \in \mathbb{C}$[/tex], o più semplicemente [tex]$f(z):=z^2$[/tex].
Se facciamo [tex]$z=x+\imath\ y$[/tex], la legge di assegnazione di $f$ diventa:
[tex]$f(z)=(x^2-y^2)+\imath\ 2xy$[/tex];
quindi, posto per definizione [tex]$u(x,y):=x^2-y^2$[/tex] e [tex]$v(x,y):=2xy$[/tex], si ha:
[tex]$f(z)=u(x,y)+\imath\ v(x,y)$[/tex].
Fin qui tutto a posto?
Ora, supponi di voler esprimere [tex]$u,v$[/tex] in funzione di [tex]$z$[/tex]. Evidentemente ciò si può fare in diversi modi: ad esempio si può scrivere:
[tex]$u(z)=(\Re e\ z)^2-(\Im m\ z)^2$[/tex] e [tex]$v(z)=2\Re e\ z\ \Im m\ z$[/tex];
oppure, ricordando che [tex]$\Re e\ z=\tfrac{1}{2} (z+\overline{z})$[/tex] ed [tex]$\Im m\ z=\tfrac{1}{2\imath}\ (z-\overline{z})$[/tex], si può scrivere:
[tex]$u(z)=\frac{1}{4} \left[ (z+\overline{z})^2 + (z-\overline{z})^2\right] =\frac{1}{2} (z^2+\overline{z}^2)$[/tex] e
[tex]$v(z)=\frac{2}{4\ \imath} (z+\overline{z})\ (z-\overline{z}) =\frac{1}{2\ \imath} (z^2-\overline{z}^2)$[/tex].
In tal modo si verifica facilmente che [tex]$f(z)=u(z)+\imath\ v(z)$[/tex].
Chiaro ora?
Dove ti blocchi?
Per quanto riguarda la notazione, avevo usato [tex]$U,V$[/tex] ed [tex]$u,v$[/tex] per distinguere le espressioni delle funzioni [tex]$\Re e\ f$[/tex] ed [tex]$\Im m\ f$[/tex]: infatti le prime (quelle maiuscole) erano considerate come funzioni di variabile complessa, mentre le seconde (minuscole) come funzioni di due variabili reali.
Insomma era un fatto di notazione, ma più pedante che utile, perciò l'ho abbandonato ora.
Ad ogni modo, ti posto un esempio, così probabile che si riesca ad intavolare un discorso più costruttivo.
Prendiamo la funzione [tex]$f:\mathbb{C}\ni z\mapsto z^2 \in \mathbb{C}$[/tex], o più semplicemente [tex]$f(z):=z^2$[/tex].
Se facciamo [tex]$z=x+\imath\ y$[/tex], la legge di assegnazione di $f$ diventa:
[tex]$f(z)=(x^2-y^2)+\imath\ 2xy$[/tex];
quindi, posto per definizione [tex]$u(x,y):=x^2-y^2$[/tex] e [tex]$v(x,y):=2xy$[/tex], si ha:
[tex]$f(z)=u(x,y)+\imath\ v(x,y)$[/tex].
Fin qui tutto a posto?
Ora, supponi di voler esprimere [tex]$u,v$[/tex] in funzione di [tex]$z$[/tex]. Evidentemente ciò si può fare in diversi modi: ad esempio si può scrivere:
[tex]$u(z)=(\Re e\ z)^2-(\Im m\ z)^2$[/tex] e [tex]$v(z)=2\Re e\ z\ \Im m\ z$[/tex];
oppure, ricordando che [tex]$\Re e\ z=\tfrac{1}{2} (z+\overline{z})$[/tex] ed [tex]$\Im m\ z=\tfrac{1}{2\imath}\ (z-\overline{z})$[/tex], si può scrivere:
[tex]$u(z)=\frac{1}{4} \left[ (z+\overline{z})^2 + (z-\overline{z})^2\right] =\frac{1}{2} (z^2+\overline{z}^2)$[/tex] e
[tex]$v(z)=\frac{2}{4\ \imath} (z+\overline{z})\ (z-\overline{z}) =\frac{1}{2\ \imath} (z^2-\overline{z}^2)$[/tex].
In tal modo si verifica facilmente che [tex]$f(z)=u(z)+\imath\ v(z)$[/tex].
Chiaro ora?
Dove ti blocchi?
Per quanto riguarda la notazione, avevo usato [tex]$U,V$[/tex] ed [tex]$u,v$[/tex] per distinguere le espressioni delle funzioni [tex]$\Re e\ f$[/tex] ed [tex]$\Im m\ f$[/tex]: infatti le prime (quelle maiuscole) erano considerate come funzioni di variabile complessa, mentre le seconde (minuscole) come funzioni di due variabili reali.
Insomma era un fatto di notazione, ma più pedante che utile, perciò l'ho abbandonato ora.
Il mio dubbio era che, essendo le 2 variabili reali x e y costituenti del numero complesso z, come queste potessero dare funzioni reali u(x,y) e v(x,y) che fossero per l'appunto reali e non complesse, ma dal tuo esempio noto che per u(x,y), semplicemente i^2 l'hai sostituito con -1, quindi è sparito e rimanendo x^2 - y^2 effettivamente questa funzione è reale, nonostante si fosse partiti da una variabile complessa z.
Per v(x,y) invece la i c'è quindi io pensavo che la funzione dovesse avere valori complessi e non reali, pero' noto che hai scritto la i a parte, e che hai considerato come v(x,y) soltanto la parte x e y (ossia 2xy).
Cosi' è ovvio anche per me che 2xy è una funzione reale, non c'è più la i. Questo "metterlo da parte" che hai escluso per la definizione delle funzioni complesse di variabili complesse mi ha tratto in inganno, ora sono convinto che oltre le variabili, anche le funzioni siano reali.
Ti ringrazio per l'aiuto datomi
Per v(x,y) invece la i c'è quindi io pensavo che la funzione dovesse avere valori complessi e non reali, pero' noto che hai scritto la i a parte, e che hai considerato come v(x,y) soltanto la parte x e y (ossia 2xy).
Cosi' è ovvio anche per me che 2xy è una funzione reale, non c'è più la i. Questo "metterlo da parte" che hai escluso per la definizione delle funzioni complesse di variabili complesse mi ha tratto in inganno, ora sono convinto che oltre le variabili, anche le funzioni siano reali.
Ti ringrazio per l'aiuto datomi
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