Funzioni $C^k$ e funzioni coercive
Due dubbi forse "stupidi" ma di cui volevo avere la conferma da qualcuno più esperto, che mi sono venuti mentre risolvevo esercizi vari di analisi 3...
1) Se ho una funzione $F$ che è somma, prodotto e composizione di funzioni di classe $C^k$... anche $F$ è automaticamente $C^k$?
2) Se ho una funzione continua e coerciva su un chiuso, allora la funzione deve necessariamente ammettere minimo giusto?
(Coerciva su un chiuso intendo che la funzione non è necessariamente coerciva su tutto il suo insieme di definizione, ma solo sul chiuso in cui devo studiarla... per esempio, $f(x,y,z) = x^4 +y^4 -z$ su $E = {(x, y, z) \in RR^3 : x^2 +y^2 -z^2 \leq 1$)
1) Se ho una funzione $F$ che è somma, prodotto e composizione di funzioni di classe $C^k$... anche $F$ è automaticamente $C^k$?
2) Se ho una funzione continua e coerciva su un chiuso, allora la funzione deve necessariamente ammettere minimo giusto?
(Coerciva su un chiuso intendo che la funzione non è necessariamente coerciva su tutto il suo insieme di definizione, ma solo sul chiuso in cui devo studiarla... per esempio, $f(x,y,z) = x^4 +y^4 -z$ su $E = {(x, y, z) \in RR^3 : x^2 +y^2 -z^2 \leq 1$)
Risposte
1) Sì (lo puoi dimostrare per induzione su $k$).
2) A quanto ho capito, la situazione è questa: hai $E\subset RR^n$ chiuso, $f: E\to RR$ continua tale che
$\lim_{||x|| \to +\infty, x\in E} f(x) = +\infty$.
Sotto queste ipotesi la funzione ammette minimo assoluto in $E$.
La dimostrazione è la stessa che vale in una variabile: prendi $x_0 \in E$, e scegli $R >0$ sufficientemente grande in modo che
$f(x) > f(x_0)$ per ogni $x\in E$ tale che $||x|| \ge R$.
A questo punto applichi il teorema di Weierstrass nel compatto $E_R := \{x\in E: ||x|| \le R\}$. Per la scelta di $R$, un punto di minimo assoluto in $E_R$ è anche di minimo assoluto su tutto $E$.
2) A quanto ho capito, la situazione è questa: hai $E\subset RR^n$ chiuso, $f: E\to RR$ continua tale che
$\lim_{||x|| \to +\infty, x\in E} f(x) = +\infty$.
Sotto queste ipotesi la funzione ammette minimo assoluto in $E$.
La dimostrazione è la stessa che vale in una variabile: prendi $x_0 \in E$, e scegli $R >0$ sufficientemente grande in modo che
$f(x) > f(x_0)$ per ogni $x\in E$ tale che $||x|| \ge R$.
A questo punto applichi il teorema di Weierstrass nel compatto $E_R := \{x\in E: ||x|| \le R\}$. Per la scelta di $R$, un punto di minimo assoluto in $E_R$ è anche di minimo assoluto su tutto $E$.
Grazie mille 
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