Funzioni che verificano $f '= g '$ su un intervallo

[Obidream]

Salve a tutti, volevo un parere anche su questo:

Se $I sub RR$ è un intervallo e $f,g : I -> RR$ verificano $ f '=g '$ in $I$, allora:

a) $f$ e $g$ hanno integrali indefiniti uguali su $I$

b) $AA a,b in I$ si ha che $int_(a)^(b)f = int_(a)^(b)g$

c) $f$ e $g$ hanno stesse primitive in $I$

d) $f=g$ in $I$

e) $f-g$ è una funzione costante su $I$


Qui devo ammettere di essere un pochino spiazzato ed ho provato a ragionare con degli esempi...
Prendendo $f(x)=x^2+1$ e $g(x)=x^2$ si ha che $f '(x)=g '(x)=2x$ quindi verificano l'identità, ma ci permettono di escludere la d)... Però il loro integrale indefinito ovvero la primitiva sono diversi, quindi questo dovrebbe scartare a), b),c)...
Quindi direi che la risposta corretta dovrebbe essere la e)

Vorrei avere un vostro parere..

[Kashaman]

la a) è da ecludere perché $\intf$ e $\intg$ differiscono di una costante.
la $b)$ è vera. anche la $c)$
la d) assolutamente no. la $e)$ è vera. penso si possa dire che $f=g+C$ con $C$ costante e quindi $f-g=C$.
poi posso sbagliarmi, qualcuno più esperto ti illuminerà meglio.

[Sk_Anonymous]

La b è falsa.

[Sk_Anonymous]

L'unica vera è la e.
Infatti se su $I$ vale $f'=g'$ allora su $I$ vale $(f-g)'=0\Rightarrow f-g=c\Rightarrow f=g+c$ con $c$ costante arbitraria.
a)$\int f(t)dt=\int [g(t)+c]dt=\int g(t)dt+ct+k\ne \int g(t)dt$ con $k$ altra costante arbitraria
b)$\int_a^bf(t)dt=\int_a^b[g(t)+c]dt=\int_a^b g(t)dt + c(b-a)\ne \int_a^b g(t)dt$
c) Le primitive di $f(t)$ e $g(t)$ differiscono fra di loro per il termine $ct+k$ dove $k$ è un'altra costante arbitraria
d) $f$ e $g$ differiscono per una costante

[lordb]

Dunque come sai se due funzioni hanno derivate uguali, queste differiscono per una costante, scriviamo dunque:

$f(x)-g(x)=c|c in RR -> f(x)=g(x)+c$

Esaminiamo i primi due punti: (sono tutti molto simili)

a) $int f(x) dx text{ } =^? int g(x) dx$

$int [g(x)+c] dx text{ } =^? int g(x) dx$

$int g(x)dx + int c dx text{ } =^? int g(x) dx$

$int c dx text{ } =^? 0$

$c*x + d|_(dinRR) text{ }=^? 0 <=> c=0 ^^ d=0$

b)$int_a^b f(x)dx text{ }=^? int_a^b g(x)dx$

$int_a^b [g(x)+c] dx text{ } =^? int_a^b g(x) dx$

$int_a^b g(x)dx + int_a^b c dx text{ } =^? int_a^b g(x) dx$

$int_a^b c dx text{ } =^? 0 $

$c*[x]_a^b text{ } =^? 0$

$c*(b-a) text{ } =^? 0 <=> c=0 vv b=a$