Funzioni che preservano convessità
Oggi mi stavo chiedendo per pura curiosità, che caratteristiche devono rispettare delle funzioni, possibilmente invertibili, da \(\displaystyle \mathbf{R}^n \) in \(\displaystyle \mathbf{R}^n \) per mandare insiemi convessi in insiemi convessi? Me lo stavo chiedendo principalmente per \(\displaystyle n\ge 2 \). Per \(\displaystyle n=1 \) direi che la cosa si fa abbastanza banale.
Risposte
Non sono sicuro che sia banale. In dimensione uno, le funzioni che cerchi sono quelle che hanno la cosiddetta "proprietà del valor medio". Mi pare che Darboux avesse pubblicato degli articoli sulle funzioni così fatte.
Mi sembra strano che sia così, in \(\mathbf{R}\) sto solo chiedendo che mandi connessi in connessi.
"vict85":
Mi sembra strano che sia così, in \(\mathbf{R}\) sto solo chiedendo che mandi connessi in connessi.
E' esattamente quello che sta dicendo dissonance.
Se tu prendi una qualsiasi funzione \(f\colon\mathbb{R}\to\mathbb{R}\) che sia la derivata di una funzione derivabile \(g\), allora come è noto \(f\) ha la proprietà di Darboux citata da dissonance, dunque manda connessi in connessi.
Un esempio è la funzione
\[
f(x) :=
\begin{cases}
2x \sin(1/x) - \cos (1/x), &\text{se}\ x\neq 0,\\
0, &\text{se}\ x = 0,
\end{cases}
\]
che, pur non essendo continua, ha la proprietà di Darboux essendo la derivata della funzione
\[
g(x) :=
\begin{cases}
x^2 \sin(1/x), &\text{se}\ x\neq 0,\\
0, &\text{se}\ x = 0.
\end{cases}
\]
Si, ok. La proprietà del valore medio mi aveva fatto pensare alle funzioni armoniche e mi sembrava una classe un po' restrittiva. E in effetti mi ero soffermato erroneamente alle sole funzioni continue.
Comunque è evidente che passando a spazi di dimensione più grande la continuità non è sufficiente, anche se in effetti potrebbero esserci funzioni non continue con quella proprietà.
Comunque è evidente che passando a spazi di dimensione più grande la continuità non è sufficiente, anche se in effetti potrebbero esserci funzioni non continue con quella proprietà.
Secondo me è un problema difficile. Si potrebbe iniziare dal caso \(n=2\) e cercare di capire quali sono le funzioni olomorfe intere che verificano questa proprietà. Già ad esempio la funzione esponenziale non la verifica, perché applica rettangoli (che sono convessi) in corone circolari.
(In ogni modo mi sembra un problema con connotazioni più geometriche che analitiche, qualunque cosa questo significhi)
(In ogni modo mi sembra un problema con connotazioni più geometriche che analitiche, qualunque cosa questo significhi)
A occhio, direi che ogni applicazione che generalizza le funzioni di Moebius sul piano complesso, i.e. ogni applicazione nella forma:
\[
f(\mathbf{x}) := \frac{1}{\langle \mathbf{c} ,\mathbf{x}\rangle + d}\ (A\ \mathbf{x} + \mathbf{b})
\]
con \(A\in \mathbb{M}(\mathbb{R};n)\), \(\mathbf{b}, \mathbf{c}\in \mathbb{R}^n\) e \(d\in \mathbb{R}\), conserva la convessità degli insiemi convessi contenuti nel semispazio \(H:= \{\langle \mathbf{c} ,\mathbf{x}\rangle + d >0\}\).
Infatti, essa è la composta dell'applicazione affine \(\phi:\mathbb{R}^n\to \mathbb{R}^{n+1}\) definita ponendo:
\[
\phi (\mathbf{x}) := (A\ \mathbf{x} + \mathbf{b}, \langle \mathbf{c} ,\mathbf{x}\rangle + d) = \begin{pmatrix} A\\ \mathbf{c}\end{pmatrix}\cdot \mathbf{x} + \begin{pmatrix} \mathbf{b} \\ d\end{pmatrix}
\]
e dell'applicazione di tipo proiettivo \(p:\mathbb{R}^n\times ]0,\infty[\to \mathbb{R}^n\) definita da:
\[
p(\mathbf{y},\eta) = \frac{1}{\eta}\ \mathbf{y}\; .
\]
Ora, è abbastanza chiaro che \(\phi\) conserva la convessità (in quanto affine) e che la composizione di mappe che conservano la convessità a sua volta conserva la convessità; dunque, per dimostrare che \(f\) conserva la convessità degli insiemi in \(H\) basta mostrare che \(p\) conserva la convessità.
Sia \(C\subseteq \mathbb{R}^n\times ]0,\infty[\) un convesso e siano \((\mathbf{y}_1,\eta_1), (\mathbf{y}_2,\eta_2)\in C\); preso ad arbitrio \(\theta \in [0,1]\) abbiamo:
\[
\begin{split}
p\big( \theta\ \mathbf{y}_1 + (1-\theta)\ \mathbf{y}_2, \theta\ \eta_1 + (1-\theta)\ \eta_2\big) &= \frac{1}{ \theta\ \eta_1 + (1-\theta)\ \eta_2}\ \big( \theta\ \mathbf{y}_1 + (1-\theta)\ \mathbf{y}_2\big)\\
&= \frac{\theta\ \eta_1}{ \theta\ \eta_1 + (1-\theta)\ \eta_2}\ \frac{1}{\eta_1}\ \mathbf{y}_1 + \frac{(1-\theta)\ \eta_2}{ \theta\ \eta_1 + (1-\theta)\ \eta_2}\ \frac{1}{\eta_2}\ \mathbf{y}_2\\
&= \underbrace{\frac{\theta\ \eta_1}{ \theta\ \eta_1 + (1-\theta)\ \eta_2}}_{\color{maroon}{=:\lambda}}\ p( \mathbf{y}_1, \eta_1) + \left( 1 - \frac{\theta\ \eta_1}{ \theta\ \eta_1 + (1-\theta)\ \eta_2}\right)\ p(\mathbf{y}_2,\eta_2)\\
&= \lambda\ p(\mathbf{y}_1,\eta_1) + (1-\lambda)\ p(\mathbf{y}_2,\eta_2)
\end{split}
\]
con \(\lambda \in [0,1]\), perciò anche \(p\) conserva la convessità (mandando combinazioni convesse in combinazioni convesse).
[Tra l'altro, si può far vedere anche che la controimmagine di un insieme convesso \(K\subseteq \mathbb{R}^n\) attraverso \(p\), cioé \(p^{-1}(K)\subseteq \mathbb{R}^n\times ]0,\infty[\), è convessa.]
D'altro canto, una completa caratterizzazione delle applicazioni che conservano la convessità manca anche nel caso "semplice" \(n=2\) (i.e., nel piano).
Ci si potrebbe lavorare.
\[
f(\mathbf{x}) := \frac{1}{\langle \mathbf{c} ,\mathbf{x}\rangle + d}\ (A\ \mathbf{x} + \mathbf{b})
\]
con \(A\in \mathbb{M}(\mathbb{R};n)\), \(\mathbf{b}, \mathbf{c}\in \mathbb{R}^n\) e \(d\in \mathbb{R}\), conserva la convessità degli insiemi convessi contenuti nel semispazio \(H:= \{\langle \mathbf{c} ,\mathbf{x}\rangle + d >0\}\).
Infatti, essa è la composta dell'applicazione affine \(\phi:\mathbb{R}^n\to \mathbb{R}^{n+1}\) definita ponendo:
\[
\phi (\mathbf{x}) := (A\ \mathbf{x} + \mathbf{b}, \langle \mathbf{c} ,\mathbf{x}\rangle + d) = \begin{pmatrix} A\\ \mathbf{c}\end{pmatrix}\cdot \mathbf{x} + \begin{pmatrix} \mathbf{b} \\ d\end{pmatrix}
\]
e dell'applicazione di tipo proiettivo \(p:\mathbb{R}^n\times ]0,\infty[\to \mathbb{R}^n\) definita da:
\[
p(\mathbf{y},\eta) = \frac{1}{\eta}\ \mathbf{y}\; .
\]
Ora, è abbastanza chiaro che \(\phi\) conserva la convessità (in quanto affine) e che la composizione di mappe che conservano la convessità a sua volta conserva la convessità; dunque, per dimostrare che \(f\) conserva la convessità degli insiemi in \(H\) basta mostrare che \(p\) conserva la convessità.
Sia \(C\subseteq \mathbb{R}^n\times ]0,\infty[\) un convesso e siano \((\mathbf{y}_1,\eta_1), (\mathbf{y}_2,\eta_2)\in C\); preso ad arbitrio \(\theta \in [0,1]\) abbiamo:
\[
\begin{split}
p\big( \theta\ \mathbf{y}_1 + (1-\theta)\ \mathbf{y}_2, \theta\ \eta_1 + (1-\theta)\ \eta_2\big) &= \frac{1}{ \theta\ \eta_1 + (1-\theta)\ \eta_2}\ \big( \theta\ \mathbf{y}_1 + (1-\theta)\ \mathbf{y}_2\big)\\
&= \frac{\theta\ \eta_1}{ \theta\ \eta_1 + (1-\theta)\ \eta_2}\ \frac{1}{\eta_1}\ \mathbf{y}_1 + \frac{(1-\theta)\ \eta_2}{ \theta\ \eta_1 + (1-\theta)\ \eta_2}\ \frac{1}{\eta_2}\ \mathbf{y}_2\\
&= \underbrace{\frac{\theta\ \eta_1}{ \theta\ \eta_1 + (1-\theta)\ \eta_2}}_{\color{maroon}{=:\lambda}}\ p( \mathbf{y}_1, \eta_1) + \left( 1 - \frac{\theta\ \eta_1}{ \theta\ \eta_1 + (1-\theta)\ \eta_2}\right)\ p(\mathbf{y}_2,\eta_2)\\
&= \lambda\ p(\mathbf{y}_1,\eta_1) + (1-\lambda)\ p(\mathbf{y}_2,\eta_2)
\end{split}
\]
con \(\lambda \in [0,1]\), perciò anche \(p\) conserva la convessità (mandando combinazioni convesse in combinazioni convesse).
[Tra l'altro, si può far vedere anche che la controimmagine di un insieme convesso \(K\subseteq \mathbb{R}^n\) attraverso \(p\), cioé \(p^{-1}(K)\subseteq \mathbb{R}^n\times ]0,\infty[\), è convessa.]
D'altro canto, una completa caratterizzazione delle applicazioni che conservano la convessità manca anche nel caso "semplice" \(n=2\) (i.e., nel piano).
Ci si potrebbe lavorare.
@ Gugo82: interessante estensione del numero di funzioni con quella proprietà
In realtà penso, dopo una breve ricerca bibliografica che sia un problema che interessi principalmente quelli di ricerca operativa-ottimizzazione perché molti loro strumenti richiedono la convessità.
Detto questo stavo ragionando su una cosa.
Sia \(\displaystyle r\in \mathbb{R}^2 \) una retta allora quest'ultima divide lo spazio in 3 insiemi convessi (i due semispazi e la retta stessa). Questi tre spazi devono essere tutti mandati in insiemi convessi e quindi, nel caso continuo, l'immagine di \(\displaystyle r \) deve essere una retta. Sempre che non mi sia dimenticato di casi patologici.
Comunque ho trovato questo. Quando ho tempo gli do una occhiata.
"dissonance":
(In ogni modo mi sembra un problema con connotazioni più geometriche che analitiche, qualunque cosa questo significhi)
In realtà penso, dopo una breve ricerca bibliografica che sia un problema che interessi principalmente quelli di ricerca operativa-ottimizzazione perché molti loro strumenti richiedono la convessità.
Detto questo stavo ragionando su una cosa.
Sia \(\displaystyle r\in \mathbb{R}^2 \) una retta allora quest'ultima divide lo spazio in 3 insiemi convessi (i due semispazi e la retta stessa). Questi tre spazi devono essere tutti mandati in insiemi convessi e quindi, nel caso continuo, l'immagine di \(\displaystyle r \) deve essere una retta. Sempre che non mi sia dimenticato di casi patologici.
Comunque ho trovato questo. Quando ho tempo gli do una occhiata.
Una considerazione semplice: le applicazioni affini preservano la convessità (in quanto nozione affine); in particolare, proiezione \(\displaystyle p_i\) sugli assi coordinati preservano la convessità. Allora...
Condizione necessaria (ma non sufficiente): se \(\displaystyle f:\mathbb{R}^n\to\mathbb{R}^n\) è una funzione che manda convessi in convessi, allora \(\displaystyle\forall i\in\{1;...;n\},\,p_i\circ f\) soddisfa la proprietà di Darboux.
Controesempio: se \(\displaystyle f\) è una funzione (continua ma anche no) che manda un segmento in un insieme a forma di \(\displaystyle U\), essa soddisfa la condizione di sopra ma non preserva la convessità!
Una considerazione tecnica: le tecniche topologiche vanno tranquillamente a farsi benedire, ma forse con una opportuna omologia (almeno per le funzioni continue che preservano la convessità) si può dire qualcosa.
Condizione necessaria (ma non sufficiente): se \(\displaystyle f:\mathbb{R}^n\to\mathbb{R}^n\) è una funzione che manda convessi in convessi, allora \(\displaystyle\forall i\in\{1;...;n\},\,p_i\circ f\) soddisfa la proprietà di Darboux.
Controesempio: se \(\displaystyle f\) è una funzione (continua ma anche no) che manda un segmento in un insieme a forma di \(\displaystyle U\), essa soddisfa la condizione di sopra ma non preserva la convessità!
Una considerazione tecnica: le tecniche topologiche vanno tranquillamente a farsi benedire, ma forse con una opportuna omologia (almeno per le funzioni continue che preservano la convessità) si può dire qualcosa.
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