Funzioni che hanno come dominio un compatto

[firecold]

Buongiorno a tutti,
Scusate se non mi sono ancora presentato ma ho un orale nel pomeriggio di analisi matematica e mi sono sorti dei dubbi riguardo le funzioni che hanno come dominio un insieme compatto ler esempio [a,b].
Sia f monotona da [a,b] in R allora f é limitata ?
Inoltre un altro dubbio basilare, sia f da [a,b] in R : io sono abbastanza sicuro che l'avere come dominio un compatto non implichi avere f limitata, é giusto ?

[dissonance]

Secondo me, smetti di ripassare, sei troppo sotto esame e il nervosismo ti impedirà di concentrarti.

Comunque, la risposta alla prima domanda è si: se la funzione è monotona crescente, allora $f(a)\le f(x)\le f(b)$ per ogni $x\in [a, b]$. (Se è decrescente, scambia $a$ e $b$).

La risposta alla seconda domanda è si (i.e.: dominio compatto \(\Rightarrow\) funzione limitata) se la funzione è continua, altrimenti non necessariamente. Prendi per esempio
\[
f(x)=\begin{cases} 0, & x=0 \\ \frac1x, & 0

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