Funzioni Armoniche: come trovarle?

[specular.evolution]

Mi è stato richiesto da un esercizio di trovare una funzione armonica p(x,Y) quindi in coordinate rettangolari conoscendo il valore della funzione in 2 punti P(0,1) =2 e P(1,0)=0.
Il mio procedimento è stato quello di ipotizzare una forma della funzione con 3 costanti a,b e c:

$P(x,Y) = aX^2 + bY^2 +c$

le varie costanti le ricavo dalle condizioni che mi sono state date ovvero:

Armonica (somma delle derivate parziali doppie in X e Y nulla)
E i due valori della funzione nei due punti.

Quindi facendo il gradiente della funzione e sostituendo le condizioni sui 2 punti ho un sistema di 3 equazioni in 3 incognite che si risolve con facilità per sostituzione.Non so se il procedimento è giusto e valido per il caso generale. Anche perchè nel caso mi venisse richiesta la stessa cosa in coordinate circolari P(r,alfa) non saprei che forma dare inizialmente.

[Gaal Dornick]

La traccia reale di una funzione olomorfa è armonica. Quindi io farei così:
trovo i valori di $a,b in CC$ affinchè $az+b$ passi per i punti che vuoi tu, dopodichè ne prendo la parte reale.

[specular.evolution]

Scusami credo di non aver capito cosa intendi. ^^

[Gaal Dornick]

Si, in effetti sono stato un po' sbrigativo.Il fatto è che non so cosa ho a disposizione: conosci il significato di "olomorfa"?
insomma, conosci l'analisi complessa?

Era il modo più veloce di risolvere il problema, ma se non lo conosci bisogna tentare altre vie..

[gugo82]

La cosa più semplice che mi viene in mente è questa: supponi $p(x,y)=ax+b$ (indipendente da $y$ ed affine in $x$) e determina $a,b \in RR$ in modo da soddisfare le condizioni assegnate.

Il metodo funziona perchè i polinomi di primo grado in $x,y$ sono funzioni armoniche (hanno laplaciano identicamente nullo).

[specular.evolution]

Purtroppo abbiamo fatto un uso scarso e ridotto dei complessi quindi è preferibile adottare un'altra via per la risoluzione del problema. Per quanto riguarda la risoluzione del problema supporla di primo grado indipendete da x mi sembra una valida alternativa e infinitamente più semplice che supporla di secondo grado in entrambe le variabili.
Mi rimane soltanto un dubbio:nel caso mi sia richiesta in coordinate circolari $(x,Alfa)$ che forma devo ipotizzare?Sono più specifico, supponiamo che la forma che sto cercando la sto cercando all'interno di una corona circolare dove $a

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[Camillo]

Vediamo se funge con la funzione di due variabili di secondo grado che riscrivo così :
$u(x,y) = ax^2+by^2+c $
con le condizioni
$u(0,1)= 2$
$u(1,0)=0$
Impongo che la funzione $u(x,y) $ sia armonica e quindi $Delta u = 0 $ cioè a dire $u_(x x)+u_(yy) =0 $
da cui : $ 2a+2b =0 $ che porta a $b=-a $.
Impongo ora le condizioni iniziali :
$-a+c=2 $
$a+c =0 $
In conclusione $a= -1, b=1 ,c=1 $ e $u(x,y)= -x^2+y^2+1 $.

[specular.evolution]

Si mi viene cosi. Ma supporre la funzione di secondo grado è un metodo generale? valido anche per le coordinate circolari?