FUNZIONI ARMONICHE

[gandalph2004]

Ciao a tutti.....qualcuno mi potrebbe elencare le caratteristiche di una generica funzione armonica ???

grazie anticipatamente

Gandalph2004

[david_e1]

Le funzioni armoniche sono quelle con laplaciano nullo su un certo A c R^n.

Hanno un'infinita' di propieta' particolari.

Ad es:

Nel caso di n=2

Se u(x,y) = Re f(x+iy)
e v(x,y) = Im f(x+iy)

Allora u e v sono C^00 e armoniche su A.

In oltre le curve di livello di u sono perpendicolari a quelle di v.

Se poi A e' semplicemente connesso data ad arbitrio una funzione u armonica esiste un'unica funzione armonica a meno di costanti additive v t.c:

u + i v = f(x+iy)

ed f(x,y) e' olomorfa in A.

Mi dicono che esistono molte altre caratteristiche speciali di queste funzioni, ma io conosco solo queste.

[Camillo]

Ad esempio in R2 \(0,0) la funzione f(x,y= ln(x^2+y^2) è armonica .
Calcoliamo le derivate seconde di f(x,y) rispetto ad x e ad y :

d^2f/dx^2 =(2y^2-2x^2)/(x^2+y^2)^2

d^2f/dy^2=(2x^2-2y^2)/(x^2+y^2)^2

Si ottiene infatti : d^2f/dx^2 + d^2f/dy^2 = 0 che è proprio la condizione che deve soddisfare una funzione per essere definita armonica.

Camillo
P.S. in effetti non ho descritto le proprietà delle funzioni armoniche ma ho dato un esempio di funzione.