Funzioni analitiche
Salve ragazzi ho un problema nel calcolare una derivata di una funzione sfruttando il fatto che sia analitica.
Il testo dice questo: determinare il valore della derivata sesta e nona in 0 della funzione seguente :
$f(x)=(x^3/(4+x^2))$ , il procedimento giusto dovrebbe essere questo:
$x^3/(4+x^2)=x^3/4*(1/(1+x^2/4))$ , pongo $x^2/4=y$ e quindi nella parentesi tonda avrò $ 1/(1+y)$
dato che $ 1/(1+y)=\sum_{n=0}^\infty\(-1)^n*y^n$
in definitiva avrò : $ f(x)=x^3/4*\sum_{n=0}^\infty\(-1)^n*x^(2n)/(4^n)=\sum_{n=0}^\infty\(-1)^n*x^(2n+3)/(4^(n+1))$
inoltre poichè f(x) è analitica si ha che $\sum_{n=0}^\infty\frac{f^{(n)}(0)}{n!}(x)^n=\sum_{n=0}^\infty\(-1)^n*x^(2n+3)/(4^(n+1))$
per questo per quanto riguarda la derivata nona no problem infatti l'esponente della x nella serie al secondo membro deve essere 9 e quindi avrò n=3 e quindi $ f^{(9)}(0)=-(9!)/4^4$
mentre per la derivata sesta dovrei avere un n=3/2... ma n è naturale e nn può essere pari a 3/2... quindi io direi che la derivata sesta in zero non esiste... invece questa esiste e fa zero...perchè???
Il testo dice questo: determinare il valore della derivata sesta e nona in 0 della funzione seguente :
$f(x)=(x^3/(4+x^2))$ , il procedimento giusto dovrebbe essere questo:
$x^3/(4+x^2)=x^3/4*(1/(1+x^2/4))$ , pongo $x^2/4=y$ e quindi nella parentesi tonda avrò $ 1/(1+y)$
dato che $ 1/(1+y)=\sum_{n=0}^\infty\(-1)^n*y^n$
in definitiva avrò : $ f(x)=x^3/4*\sum_{n=0}^\infty\(-1)^n*x^(2n)/(4^n)=\sum_{n=0}^\infty\(-1)^n*x^(2n+3)/(4^(n+1))$
inoltre poichè f(x) è analitica si ha che $\sum_{n=0}^\infty\frac{f^{(n)}(0)}{n!}(x)^n=\sum_{n=0}^\infty\(-1)^n*x^(2n+3)/(4^(n+1))$
per questo per quanto riguarda la derivata nona no problem infatti l'esponente della x nella serie al secondo membro deve essere 9 e quindi avrò n=3 e quindi $ f^{(9)}(0)=-(9!)/4^4$
mentre per la derivata sesta dovrei avere un n=3/2... ma n è naturale e nn può essere pari a 3/2... quindi io direi che la derivata sesta in zero non esiste... invece questa esiste e fa zero...perchè???
Risposte
Dallo sviluppo in serie di \(f\) deduci che le derivate di ordine \(2n+3\), \(n\in\mathbb{N}\), sono non nulle, mentre tutte le altre sono nulle.
Si ma come faccio a dedurlo? Qual è il motivo teorico di questo? Perchè dovrebbero essere proprio nulle? È questo che mi sfugge
"ddd91":
Si ma come faccio a dedurlo? Qual è il motivo teorico di questo? Perchè dovrebbero essere proprio nulle? È questo che mi sfugge
Ma la serie di Taylor l'hai studiata?
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