Funzioni analitiche
Buongiorno a tutti. Mi accingo allo studio delle funzioni di variabile complessa. Mi sono imbattuto nella definizione di funzione analitica. Al di là della definizione formale che ovviamente è fondamentale, qualcuno potrebbe definirla in termini intuitivi (se possibile)? Non riesco a coglierne il significato.
Grazie a tutti.
Grazie a tutti.
Risposte
Una funzione analitica è semplicemente una funzione che (localmente, ossia intorno ad ogni punto del suo insieme di definizione) è somma di una serie di potenze.
Ok, in effetti nelle dispense del professore si dimostra che una funzione che è esprimibile come serie di potenze è analitica in quanto possiede derivata prima continua. Questo mi autorizza a dire che una funzione è analitica se è esprimibile come serie di potenze?
No, max, qui stai facendo confusione... Ma questa cosa non è strana, perchè in Analisi Complessa certe cose non vengono viste così come dovrebbero. 
Diciamo che una funzione [tex]$f:\Omega \to \mathbb{C}$[/tex] è olomorfa in [tex]$\Omega$[/tex] se essa è derivabile in senso complesso in tutti i punti di [tex]$\Omega$[/tex] (che prendo aperto non vuoto in [tex]$\mathbb{C}$[/tex]).
Invece, una funzione [tex]$f:\Omega \to \mathbb{C}$[/tex] si dice analitica in [tex]$\Omega$[/tex] se essa è localmente somma di una serie di potenze (ossia se per ogni [tex]$z_0\in \Omega$[/tex] esiste una serie [tex]\sum a_n\ (z-z_0)^n[/tex] che converge in un cerchio [tex]$C(z_0;r)\subseteq \Omega$[/tex] e tale che [tex]f(z)=\sum_{n=0}^{+\infty}a_n (z-z_0)^n[/tex]).
Che legame c'è tra le due cose?
Ebbene, il teorema di derivazione termine a termine garantisce che se [tex]$f$[/tex] è analitica in [tex]$\Omega$[/tex] allora essa è pure olomorfa in [tex]$\Omega$[/tex]; anzi, sono olomorfe in [tex]$\Omega$[/tex] tutte le derivate della [tex]$f$[/tex] (che è di classe [tex]$C^\infty$[/tex] per il suddetto teorema di derivazione).
La cosa bella è che vale il viceversa: ossia la sola derivabilità in senso complesso (cioè l'olomorfia) è sufficiente a garantire che una funzione è di classe [tex]$C^\infty$[/tex] ed è addirittura analtica (è una conseguenza del teorema integrale di Cauchy).
Questo fatto è scandaloso! Infatti nel campo reale ciò non succede!!!
Basta ad esempio osservare che la funzione [tex]$f(x)=x\ |x|$[/tex] è derivabile e di classe [tex]$C^1$[/tex] in tutto [tex]$\mathbb{R}$[/tex], però ha la derivata seconda discontinua quindi non è [tex]$C^\infty$[/tex]; o ancora la funzione:
[tex]$f(x):=\begin{cases} e^{-\frac{1}{x}} &\text{, se } x>0 \\ 0 &\text{, se } x\leq 0\end{cases}$[/tex]
è di classe [tex]$C^\infty$[/tex] in tutto [tex]$\mathbb{R}$[/tex], ma non è sviluppabile in serie di potenze in [tex]$0$[/tex].
Quindi, nell'Analisi Complessa sono derivabili (ossia olomorfe) tutte e sole le funzioni che sono analitiche: ciò vuol dire che i due concetti di derivailità e di sviluppabilità in serie non si possono affatto distinguere in [tex]$\mathbb{C}$[/tex].
Questo fatto causa la cattivissima abitudine di chiamare le funzioni derivabili in senso complesso funzioni analitiche piuttosto che funzioni olomorfe: in tal modo si confondono due proprietà che, in generale, sono del tutto distinte (come mostrano gli esempi fatti in [tex]$\mathbb{R}$[/tex]), ossia la derivabilità e la sviluppabilità in serie di potenze, e delle quali la seconda è estremamente più forte della prima.
Diciamo che una funzione [tex]$f:\Omega \to \mathbb{C}$[/tex] è olomorfa in [tex]$\Omega$[/tex] se essa è derivabile in senso complesso in tutti i punti di [tex]$\Omega$[/tex] (che prendo aperto non vuoto in [tex]$\mathbb{C}$[/tex]).
Invece, una funzione [tex]$f:\Omega \to \mathbb{C}$[/tex] si dice analitica in [tex]$\Omega$[/tex] se essa è localmente somma di una serie di potenze (ossia se per ogni [tex]$z_0\in \Omega$[/tex] esiste una serie [tex]\sum a_n\ (z-z_0)^n[/tex] che converge in un cerchio [tex]$C(z_0;r)\subseteq \Omega$[/tex] e tale che [tex]f(z)=\sum_{n=0}^{+\infty}a_n (z-z_0)^n[/tex]).
Che legame c'è tra le due cose?
Ebbene, il teorema di derivazione termine a termine garantisce che se [tex]$f$[/tex] è analitica in [tex]$\Omega$[/tex] allora essa è pure olomorfa in [tex]$\Omega$[/tex]; anzi, sono olomorfe in [tex]$\Omega$[/tex] tutte le derivate della [tex]$f$[/tex] (che è di classe [tex]$C^\infty$[/tex] per il suddetto teorema di derivazione).
La cosa bella è che vale il viceversa: ossia la sola derivabilità in senso complesso (cioè l'olomorfia) è sufficiente a garantire che una funzione è di classe [tex]$C^\infty$[/tex] ed è addirittura analtica (è una conseguenza del teorema integrale di Cauchy).
Questo fatto è scandaloso! Infatti nel campo reale ciò non succede!!!
Basta ad esempio osservare che la funzione [tex]$f(x)=x\ |x|$[/tex] è derivabile e di classe [tex]$C^1$[/tex] in tutto [tex]$\mathbb{R}$[/tex], però ha la derivata seconda discontinua quindi non è [tex]$C^\infty$[/tex]; o ancora la funzione:
[tex]$f(x):=\begin{cases} e^{-\frac{1}{x}} &\text{, se } x>0 \\ 0 &\text{, se } x\leq 0\end{cases}$[/tex]
è di classe [tex]$C^\infty$[/tex] in tutto [tex]$\mathbb{R}$[/tex], ma non è sviluppabile in serie di potenze in [tex]$0$[/tex].
Quindi, nell'Analisi Complessa sono derivabili (ossia olomorfe) tutte e sole le funzioni che sono analitiche: ciò vuol dire che i due concetti di derivailità e di sviluppabilità in serie non si possono affatto distinguere in [tex]$\mathbb{C}$[/tex].
Questo fatto causa la cattivissima abitudine di chiamare le funzioni derivabili in senso complesso funzioni analitiche piuttosto che funzioni olomorfe: in tal modo si confondono due proprietà che, in generale, sono del tutto distinte (come mostrano gli esempi fatti in [tex]$\mathbb{R}$[/tex]), ossia la derivabilità e la sviluppabilità in serie di potenze, e delle quali la seconda è estremamente più forte della prima.
Infatti dalle dispense sembrerebbe che olomorfa ed analitica siano la stessa cosa. Il professore scrive: "Una funzione $f$ è detta analitica (o olomorfa) in un aperto $\Omega$ di $CC$ se possiede derivata prima continua in $\Omega$"
Come detto, in ambito complesso, la derivabilità e l'analiticità si equivalgono, quindi gli aggettivi analitica ed olomorfa sono considerati sinonimi... Tuttavia quando si parla di "funzioni analitiche" e "funzioni derivabili" in altri ambiti si esprimono concetti differenti.
Ok, credo di aver capito. Siccome l'esame verte sulle funzioni di variabile complessa, il professore non ha distinto i due concetti in quanto in campo complesso si possono considerare equivalenti.
Grazie infinite.
Grazie infinite.
Chiedo scusa se riapro una vecchia discussione,ma visto che l'argomento è stato già "lanciato".. 
Mi è sorto il seguente dubbio:
Dato che tutte le funzioni analitiche sono olomorfe e viceversa, e che le funzioni analitiche possono scriversi come una serie di potenze, che in quanto tale converge in un cerchio, è corretto concludere che le funzioni olomorfe hanno per dominio di olomorfia dei cerchi o meglio un 'unione di cerchi, quelli in cui c'è convergenza totale della serie di potenze?
Forse ho inteso male, ma mi sembra di aver capito che per questa identificazione olomorfa/analitica le funzioni olomorfe o sono intere
(se il raggio di convergenza della serie che le rappresenta è $+oo$) o hanno per dominio di olomorfia un cerchio...
Dove sbaglio?
Mi è sorto il seguente dubbio:
Dato che tutte le funzioni analitiche sono olomorfe e viceversa, e che le funzioni analitiche possono scriversi come una serie di potenze, che in quanto tale converge in un cerchio, è corretto concludere che le funzioni olomorfe hanno per dominio di olomorfia dei cerchi o meglio un 'unione di cerchi, quelli in cui c'è convergenza totale della serie di potenze?
Forse ho inteso male, ma mi sembra di aver capito che per questa identificazione olomorfa/analitica le funzioni olomorfe o sono intere
(se il raggio di convergenza della serie che le rappresenta è $+oo$) o hanno per dominio di olomorfia un cerchio...
Dove sbaglio?
@ Gianluca: non ne ho idea aspoettiamo qualcuno ma intervengo per aggiungere il seguente problema.
Appunto non conoscendo bene analisi complessa mi trovo in difficoltà.
Ho questo: $D=(-1,1)$ e $f(t)=int_D {e^(itx)-1-itx}dv(x)$ do ve $v$ è sigma-finita su D e $x$ è in $L^2_(D,v)$. $t$ è reale.
Questa condizione ci permette di fare convergenza dominata e fa:
$f(t)=sum_(k=2)^(infty)(it)^k/(k!)\ int_D x^k dv(x)$ (l'itegrale converge sempre per la condizione). Fino a qua tutto bene.
Poi dice f è analitica; possiamo estenderla a $t in CC$ su questo se qualcuno mi può dare lumi.
Grazie mille.
Appunto non conoscendo bene analisi complessa mi trovo in difficoltà.
Ho questo: $D=(-1,1)$ e $f(t)=int_D {e^(itx)-1-itx}dv(x)$ do ve $v$ è sigma-finita su D e $x$ è in $L^2_(D,v)$. $t$ è reale.
Questa condizione ci permette di fare convergenza dominata e fa:
$f(t)=sum_(k=2)^(infty)(it)^k/(k!)\ int_D x^k dv(x)$ (l'itegrale converge sempre per la condizione). Fino a qua tutto bene.
Poi dice f è analitica; possiamo estenderla a $t in CC$ su questo se qualcuno mi può dare lumi.
Grazie mille.
@GianlucaN: Non è vero che le funzioni analitiche debbano essere definite solo in cerchi (eventualmente degeneri); anzi, esistono funzioni analitiche definite in insiemi anche oltremodo "strani", giacché vale il seguente teorema:
Infatti, valendo tale teorema, non si può usare la tecnica del prolungamento analitico (descritta qui) per prolungare [tex]$f(z)$[/tex] fuori da [tex]$\Omega$[/tex] conservando l'olomorfia; ciò assicura che non esistono prolungamenti olomorfi di [tex]$f(z)$[/tex] ad insiemi più grossi di [tex]$\Omega$[/tex]. Ma [tex]$\Omega$[/tex] è un aperto non vuoto arbitrario, quindi esistono funzioni olomorfe definite anche dentro insiemi non circolari.
@DajeForte: La serie di potenze che hai ricavato ha senso anche se pensi [tex]$t\in \mathbb{C}$[/tex]; qual è il raggio di convergenza di tale serie? E cose dice il principio d'identità delle funzioni analitiche?
Comunque si assegni un aperto [tex]$\Omega \subseteq \mathbb{C}$[/tex] non vuoto esiste una funzione [tex]$f:\Omega \to \mathbb{C}$[/tex], olomorfa in [tex]$\Omega$[/tex], le cui singolarità costituiscono un sottoinsieme denso di [tex]$\partial \Omega$[/tex].
Infatti, valendo tale teorema, non si può usare la tecnica del prolungamento analitico (descritta qui) per prolungare [tex]$f(z)$[/tex] fuori da [tex]$\Omega$[/tex] conservando l'olomorfia; ciò assicura che non esistono prolungamenti olomorfi di [tex]$f(z)$[/tex] ad insiemi più grossi di [tex]$\Omega$[/tex]. Ma [tex]$\Omega$[/tex] è un aperto non vuoto arbitrario, quindi esistono funzioni olomorfe definite anche dentro insiemi non circolari.
@DajeForte: La serie di potenze che hai ricavato ha senso anche se pensi [tex]$t\in \mathbb{C}$[/tex]; qual è il raggio di convergenza di tale serie? E cose dice il principio d'identità delle funzioni analitiche?
Grazie mille speravo in una tua risposta.
allora vediamo se ho capito:
il termine $a_k$ della serie assoluta è: $( | int_D x^k dv(x) | ) /(k!) $
questo è maggiorato da $( int_D |x|^2 dv(x) ) /(k!) $ ($D=(-1,1)$)
Quindi la serie assoluta è maggiorata da una serie che converge per ogni reale
Quindi il raggio è $+infty$
Quindi la serie semplice converge $forall t in CC$
Non ne ho la più pallida idea: o meglio credo che la funzione f è estendibile a tutto $CC$ e la sua estensione coincederà con l'espansione in serie della funzione.
allora vediamo se ho capito:
il termine $a_k$ della serie assoluta è: $( | int_D x^k dv(x) | ) /(k!) $
questo è maggiorato da $( int_D |x|^2 dv(x) ) /(k!) $ ($D=(-1,1)$)
Quindi la serie assoluta è maggiorata da una serie che converge per ogni reale
"gugo82":
qual è il raggio di convergenza di tale serie?
Quindi il raggio è $+infty$
Quindi la serie semplice converge $forall t in CC$
"gugo82":
E cose dice il principio d'identità delle funzioni analitiche?
Non ne ho la più pallida idea: o meglio credo che la funzione f è estendibile a tutto $CC$ e la sua estensione coincederà con l'espansione in serie della funzione.
Ok per il raggio di convergenza.
Il principio d'identità delle funzioni analitiche, in soldoni, ti dice che se due funzioni analitiche coincidono su un insieme con qualche punto di accumulazione interno all'intersezione dei loro insiemi di definizione, allora esse coincidono in tutta l'intersezione.
Ora, detta [tex]$F(t)$[/tex] la somma della tua serie di potenze in [tex]$\mathbb{C}$[/tex], e detto [tex]$\phi(t)$[/tex] un qualsiasi prolungamento olomorfo di [tex]$f(t)$[/tex] ad un insieme [tex]$\Omega \subseteq \mathbb{C}$[/tex], si ha [tex]$F(t)=f(t)=\phi (t)$[/tex] per [tex]$t\in D\cap \Omega$[/tex] e quindi [tex]$\phi(t)=F(t)$[/tex] in tutto [tex]$\Omega$[/tex] per il principio d'identità.
Ergo [tex]$F(t)$[/tex] è l'unico possibile prolungamento olomorfo di [tex]$f(t)$[/tex] in campo complesso, ed esso è definito in tutto [tex]$\mathbb{C}$[/tex].
Il principio d'identità delle funzioni analitiche, in soldoni, ti dice che se due funzioni analitiche coincidono su un insieme con qualche punto di accumulazione interno all'intersezione dei loro insiemi di definizione, allora esse coincidono in tutta l'intersezione.
Ora, detta [tex]$F(t)$[/tex] la somma della tua serie di potenze in [tex]$\mathbb{C}$[/tex], e detto [tex]$\phi(t)$[/tex] un qualsiasi prolungamento olomorfo di [tex]$f(t)$[/tex] ad un insieme [tex]$\Omega \subseteq \mathbb{C}$[/tex], si ha [tex]$F(t)=f(t)=\phi (t)$[/tex] per [tex]$t\in D\cap \Omega$[/tex] e quindi [tex]$\phi(t)=F(t)$[/tex] in tutto [tex]$\Omega$[/tex] per il principio d'identità.
Ergo [tex]$F(t)$[/tex] è l'unico possibile prolungamento olomorfo di [tex]$f(t)$[/tex] in campo complesso, ed esso è definito in tutto [tex]$\mathbb{C}$[/tex].
Grazie mille (sei stato chiaro e preciso)
credo di aver capito e se è vero, questo principio sembra essere bello potente o comunque le funzioni analitiche complesse molto particolari.
credo di aver capito e se è vero, questo principio sembra essere bello potente o comunque le funzioni analitiche complesse molto particolari.
tutto chiaro , grazie per la risposta gugo82 . 
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