Funzioni analitiche

[bomhamsik]

mi spiegate bene cos'è una funzione analitica??? ho trovato definizioni diverse tra libri videolezioni e risorse varie

[Relegal]

Ti riporto la definizione che uso io:
Sia $f$ $in$ $C^(oo)(a;b)$ e $x_0$ $in$ $(a;b)$. $f$ è analitica in $x_0$ se esiste un intorno $U$ di $x_0$ tale che
$AA x in U$ :$f(x)=sum_(k=0)^(+oo)(f^((k))(x_0))/(k!)*(x-x_0)^k$

[gugo82]

In generale una funzione analitica in un aperto [tex]$\Omega$[/tex] (che può essere in [tex]$\mathbb{R}^N$[/tex] o in [tex]$\mathbb{C}^N$[/tex] oppure in uno spazio più astratto [tex]$X$[/tex]) è una funzione che si può sviluppare in serie di potenze intorno ad ogni punto di [tex]$\Omega$[/tex].

Per semplificare, mettiamoci in [tex]$\mathbb{C}$[/tex].
Se [tex]$\Omega \subseteq \mathbb{C}$[/tex] è aperto ed [tex]$f:\Omega \to \mathbb{C}$[/tex], si dice che [tex]$f$[/tex] è analitica in [tex]$\Omega$[/tex] (e si scrive [tex]$f\in C^\omega (\Omega )$[/tex]) se e solo se per ogni [tex]$z_0\in \Omega$[/tex] esistono una successione [tex]$(a_n) \subseteq \mathbb{C}$[/tex] ed un [tex]$r\in ]0,+\infty]$[/tex] tali che:

1) [tex]$D(z_0;r)\subseteq \Omega$[/tex]*;

2) [tex]$\forall z\in D(z_0;r),\quad f(z)=\sum_{n=0}^{+\infty} a_n\ (z-z_0)^n$[/tex].

[N.B.: La successione [tex]$(a_n)$[/tex] ed il numero [tex]$r$[/tex] dipendono dalla scelta di [tex]$z_0$[/tex], quindi si dovrebbe usare la notazione [tex]$(a_n(z_0))$[/tex] ed [tex]$r(z_0)$[/tex]; però avrei appesantito troppo la scrittura, quindi ho preferito glissare... ]

Una condizione necessaria e sufficiente affinché la funzione [tex]$f$[/tex] sia analitica in [tex]$\Omega$[/tex] è che, per ogni [tex]$z_0\in \Omega$[/tex], i coefficienti [tex]$(a_n)$[/tex] della serie di potenze in 2) soddisfino la condizione di crescita:

CC) [tex]$\forall n\in \mathbb{N} ,\quad |a_n|\leq A\ B^n$[/tex]

ove [tex]$A,B\in [0,+\infty[$[/tex] sono costanti appropriate (e dipendenti da [tex]$z_0$[/tex], of course).

Si prova abbastanza agevolmente che se una funzione [tex]$f$[/tex] è analitica allora essa è [tex]$C^\infty$[/tex] (ovvio) e che gli [tex]$(a_n)$[/tex] coincidono con i coefficienti di Taylor di [tex]$f$[/tex], cosicché la serie di potenze in 2) non è altro che lo sviluppo di [tex]$f$[/tex] in serie di Taylor di centro [tex]$z_0$[/tex].
In generale vale l'inclusione stretta:

[tex]$C^\omega (\Omega) \subset C^\infty (\Omega)$[/tex];

però, se stai studiando Analisi Complessa, ti farà piacere sapere che nel campo complesso tutte le funzioni olomorfe in un aperto sono ivi analitiche (è una conseguenza delle formule integrali di Cauchy per le derivate, delle stime che si ottengono da esse, nonché della condizione di crescita CC)).
Questo fatto spiega anche perchè in molti testi di Analisi Complessa si faccia confusione tra i due concetti (distinti) di funzione olomorfa e funzione analitica.

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* Qui e nel seguito [tex]$D(z_0;r):=\{ z\in \mathbb{C} :\ |z-z_0|

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