Funzioni Analitiche

[Tannu1]

Salve,

mi aiutereste a stabilire se:

f(x,y) =sin x cosh y

può essere la parte immaginaria di una funzione analitica di z=x+iy? Ed eventualmente determinare la funzione analitica $\Phi (z)$ di cui $f(x,y)$ sia la parte immaginaria con la condizione $\Phi (0)=1$

[Camillo]

Va cercata , se esiste, una funzione analitica $Phi(z) $ di cui $ f(x,y) $ sia la parte immaginaria , cioè $Phi(z) =g(x,y)+i *f(x,y) $ .
Se esiste, allora devono valere le condizioni di Cauchy-Riemann per questa funzione:

I) $(delg)/(delx) =(delf)/(dely) = sinx*sinh y $, da cui $g(x,y) = int sinx*sinhy*dx = -cosx*sinhy +C $.

II)$ (delg)/(dely) = -(delf)/(delx) $ e si ha $ (delg)/(dely) = -cosx*coshy $ e $-(delf)/(delx) = -cosx*coshy $ ; le condizioni di C.R. sono quindi soddisfatte.

La funzione $Phi(z) $ cercata è allora $Phi(z) = (-cosx*sinhy +C)+i*sinx*coshy $ che va ora espressa in funzione di $z = x+iy $ e va pure scelta la costante $ C$ in modo che $Phi(0)= 1 $.
Se $ z=0 rarr x=0, y=0 $ e quindi $C =1 $ .
Pertanto $Phi = -cosx*sinhy +1+i*sinx*coshy $ .
E' utile ricordare che $ sin(x+iy) = sinx*coshy+i*cosx*sinhy $ e quindi riscrivo :
$Phi =i[sinx*coshy+i*cosx*sinhy]+1 =i*sin(x+iy)+1$ e finalmente , essendo $z = x+iy $ , otteniamo :
$Phi(z) = i*sinz+1 $ .