Funzioni analitiche
Tempo fa stavo cercando di dimostrare una cosa che aveva detto il nostro prof di analisi, ma non ci sono riuscito, per questo ora vi chiedo un aiuto: dimostrare che data una funzione $f:(a,b)->RR,x_0\in(a,b)$ se la funzione è analitica in $x_0$, allora è analitica anche in tutti i punti di un intorno di $x_0$.
Risposte
Ma nella definizione di analiticità di una funzione non si usano gli aperti di solito? Cioè io come definizione ho sempre usato:
$f : A \to RR$ è detta analitica in un aperto $J \subset A$ se per ogni $x_0 \in J$ esiste una serie di potenze $\sum_{n=0}^{\infty}a_n(x-x_0)^n$ tale per cui la serie converge in un intorno di $x_0$ contenuto in $J$ e in tale intorno vale $f(x)=\sum_{n=0}^{\infty}a_n(x-x_0)^n$.
Dunque quando sento dire "$f$ è analitica in un punto" mi immagino "$f$ è analitica in un intorno di quel punto", cosa che risponderebbe tautologicamente alla tua domanda....
$f : A \to RR$ è detta analitica in un aperto $J \subset A$ se per ogni $x_0 \in J$ esiste una serie di potenze $\sum_{n=0}^{\infty}a_n(x-x_0)^n$ tale per cui la serie converge in un intorno di $x_0$ contenuto in $J$ e in tale intorno vale $f(x)=\sum_{n=0}^{\infty}a_n(x-x_0)^n$.
Dunque quando sento dire "$f$ è analitica in un punto" mi immagino "$f$ è analitica in un intorno di quel punto", cosa che risponderebbe tautologicamente alla tua domanda....
Io per analitica in un punto intendo che esiste un intorno del punto in cui la serie di Taylor converge alla funzione, quello che volevo sapere è: se prendo un punto in questo intorno, e considero la serie di Taylor centrata in quel punto, questa convergerà alla mia funzione? So che è così ma non so come dimostrarlo..... Non so se mi sono spiegato benissimo...
Dopo svariate ricerche sono riuscito a trovare un teorema che dimostra, utilizzando gli strumenti dell'analisi complessa, l'analiticità (secondo la classica definizione che ne hai dato) di una funzione definita da una serie di potenze:
@SergeantElias: Questo post tocca un punto un po' delicato della teoria delle funzioni analitiche. Mi ricordo che quando seguii il corso di analisi complessa all'università il professore lasciò la domanda dell'OP come esercizio dicendo che era un esercizio "bastardo". Questo perché se uno cerca di risolverlo direttamente, facendo quello che hai citato nel tuo ultimo post, deve fare un po' di calcolo discreto e non è proprio facilissimo. È una dimostrazione "hard".
Dopo però uno scopre che c'era una dimostrazione "soft", molto semplice. Se $f(z)=\sum a_kz^k$ in $D_r(0)$, in particolare è olomorfa (="differenziabile in senso complesso") in $D_r(0)$, e quindi è analitica in tutto $D_r(0)$.
Dopo però uno scopre che c'era una dimostrazione "soft", molto semplice. Se $f(z)=\sum a_kz^k$ in $D_r(0)$, in particolare è olomorfa (="differenziabile in senso complesso") in $D_r(0)$, e quindi è analitica in tutto $D_r(0)$.
Ciao dissonance e grazie per la precisazione. Se ho capito bene, andrebbe motivato a dovere il passaggio in cui si scambia l'ordine delle due sommatorie. Per quanto riguarda il resto, mi pare sufficientemente rigoroso. Chiedo semplicemente una conferma.
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Certo, secondo me la dimostrazione che hai postato è corretta.
Dicevo solo che usando la teoria delle funzioni olomorfe uno può dare una dimostrazione "soft" molto più semplice. (Il che non toglie merito alla dimostrazione "hard", che contiene molte più informazioni).
Dicevo solo che usando la teoria delle funzioni olomorfe uno può dare una dimostrazione "soft" molto più semplice. (Il che non toglie merito alla dimostrazione "hard", che contiene molte più informazioni).
L'argomento è già stato trattato millenni fa... Ho anche postato una dimostrazione "hard" mi pare.
Appena ho due minuti la cerco e ve la linko... Altrimenti ve la scrivo da capo.
Appena ho due minuti la cerco e ve la linko... Altrimenti ve la scrivo da capo.
Della dimostrazione postata da Sergeant Elias, non capisco il passaggio finale in cui si scambiano gli indici della somma (più che altro non capisco se si può fare così senza preoccuparsi minimamente, mi sembra strano), il resto è chiaro.
Per rispondere a gugo82, io ovviamente avevo cercato se c'erano discussioni su questa cosa, e in effetti ce n'erano tante, ma tutte (quelle che ho trovato io!) usano l'analisi complessa, che non conosco, inoltre ho capito che nell'analisi complessa le cose vanno persino "troppo bene", nel senso che valgono risultati molto forti e quindi non si può dire, beh vale per le funzioni complesse, quindi anche per quelle reali.
Per rispondere a gugo82, io ovviamente avevo cercato se c'erano discussioni su questa cosa, e in effetti ce n'erano tante, ma tutte (quelle che ho trovato io!) usano l'analisi complessa, che non conosco, inoltre ho capito che nell'analisi complessa le cose vanno persino "troppo bene", nel senso che valgono risultati molto forti e quindi non si può dire, beh vale per le funzioni complesse, quindi anche per quelle reali.
"dissonance":
Certo, secondo me la dimostrazione che hai postato è corretta.
Ottimo. Tuttavia:
"otta96":
... più che altro non capisco se si può fare così senza preoccuparsi minimamente, mi sembra strano ...
Per quanto mi riguarda, dovrei fare delle ricerche. Anzi, scusate se ho allegato una dimostrazione della quale non avrei saputo giustificare rigorosamente un passaggio.
"otta96":
... e quindi non si può dire, beh vale per le funzioni complesse, quindi anche per quelle reali.
Non dovrebbe essere un problema, se le funzioni di cui si parla sono espresse mediante serie di potenze.
"gugo82":
Appena ho due minuti la cerco e ve la linko ... Altrimenti ve la scrivo da capo.
Grazie per la disponibilità.
"anonymous_0b37e9":
[quote="otta96"]... e quindi non si può dire, beh vale per le funzioni complesse, quindi anche per quelle reali.
Non dovrebbe essere un problema, se le funzioni di cui si parla sono espresse mediante serie di potenze.[/quote]
Ecco, ma per l'appunto io non conoscendo l'analisi complessa non so in quali casi si possa o non si possa dire.
Sono piuttosto sicuro ma non saprei giustificarlo in modo sufficientemente sintetico. Meglio se ti affidi agli altri.
P.S.
Discussione interessante per te quanto per me.
P.S.
Discussione interessante per te quanto per me.
Potete buttare un occhio qui e nei due miei post seguenti.
Il discorso è fatto, del tutto in generale, per le serie di potenze di $n$ variabili (quindi con tutto l'armamentario dei multiindici), ma con un po' di buona volontà si può riscrivere tutto per una sola variabile.
[ot]Certo che all'inizio la mettevo giù pesante...
[/ot]
Il discorso è fatto, del tutto in generale, per le serie di potenze di $n$ variabili (quindi con tutto l'armamentario dei multiindici), ma con un po' di buona volontà si può riscrivere tutto per una sola variabile.
[ot]Certo che all'inizio la mettevo giù pesante...
[/ot]
Rieccomi, ho potuto leggere solo ora i messaggi perché erano lunghi (e difficili! 
), inoltre non avendo io la minima idea di cosa sia un multiindice, non ci stavo capendo niente e stavo per chiedere a gugo82 il favore di scrivere la dimostrazione nel caso di una sola variabile, quando ho visto che lo aveva già fatto nel penultimo post del thread citato da gugo82 stesso, lo riporto qui:
La dimostrazione l'ho abbastanza capita, però c'è una cosa su cui vorrei un chiarimento, proprio all'inizio, quando si dice che dimostrare la tesi equivale a dimostrare
Ciò che mi lascia perplesso è che sia sufficiente l'esistenza della successione $(b_n)$, non dovrebbe essere una in particolare?
Ovvero la successione delle derivate divise per il fattoriale dell'ordine di derivazione?
P.S. Nella dimostrazione hai saltato il punto e)
P.P.S. Grazie a tutti per le risposte.
), inoltre non avendo io la minima idea di cosa sia un multiindice, non ci stavo capendo niente e stavo per chiedere a gugo82 il favore di scrivere la dimostrazione nel caso di una sola variabile, quando ho visto che lo aveva già fatto nel penultimo post del thread citato da gugo82 stesso, lo riporto qui:"gugo82":
La dimostrazione precedente, seppur lievemente modificata, vale pure per $n=1$ e le modifiche mostrano che per le serie in una variabile reale, come dicevi tu, si può assicurare l'analiticità in tutto il cerchio di convergenza di un elemento analitico.
Riporto la dimostrazione (mia, quindi potrebbe presentare degli errori) che in effetti ricalca quella fatta in precedenza nel caso di più variabili.
Siano $A subseteq RR$ un aperto contenente $0$ ed $f:Ato RR$.
Se $f$ è analitica in $0$ allora essa è analitica in ogni punto del cerchio di convergenza del suo elemento analitico centrato in $0$.
Siano $\sum a_n*x^n$ l'elemento analitico di $f$ centrato in $0$ ed $r$ il suo raggio di convergenza: acquisire la tesi equivale a provare vera la seguente proposizione:
P) $quad AA barx in ]-r,r[,exists (b_n) subset RR " ed " exists rho_barx>0:quad AA x in (barx-rho_barx,barx+rho_barx), f(x)=\sum_(n=0)^(+oo)b_n*(x-barx)^n$.
Fissiamo $barx in ]-r,r[$: operando algebricamente sull'elemento analitico di $f$ centrato in $0$ troviamo:
$AA x in ]-r,r[,quad f(x)=\sum_(n=0)^(+oo)a_n*(x-barx+barx)^n=\sum_(n=0)^(+oo)a_n*\sum_(k=0)^n((n),(k))*(x-barx)^k*barx^(n-k)$;
ponendo:
$AA n,k in NN,quad C_k^n=\{(((n),(k)), ", se " kle n),(0, ", se " k>n):} quad$,
dalla precedente traiamo:
a) $quad AA x in ]-r,r[,quad f(x)=\sum_(n=0)^(+oo)\sum_(k=0)^(+oo)a_n*C_k^n*(x-barx)^k*barx^(n-k)$
onde $f$ è in $]-r,r[$ la somma fatta per colonne della serie doppia che ha per addendo generico il numero reale $a_n*C_k^n*(x-barx)^k*barx^(n-k)$.
Mostriamo che esiste un $delta_barx>0$ tale che la serie doppia $\sum_(n,k) a_n*C_k^n*(x-barx)^k*barx^(n-k)$ converga assolutamente per ogni scelta di $x$ in $]barx-delta_barx,barx+delta_barx[$.
Visto che $barx in ]-r,r[$, è sicuramente non vuoto l'intervallo $]|barx|,r[$: fissiamo una volta per tutte $xi_barx in ]|barx|,r[$ e poniamo $delta_barx=xi_barx-|barx|>0$; avendo per definizione $AA x in (barx-delta_barx,barx+delta_barx), |x-barx|le xi_barx-|barx|$, possiamo maggiorare i valori assoluti dei termini della serie doppia ottenuti fissando $x in (barx-delta_barx,barx+delta_barx)$ come segue:
b) $quad |a_n|*C_k^n*|x-barx|^k*|barx|^(n-k)le |a_n|*C_k^n*(xi_barx-|barx|)^k*|barx|^(n-k)$.
Sommando per colonne anche la serie doppia dei valori assoluti, applicando t.a.t. le maggiorazioni b) e ricordando la formula del binomio di Newton, troviamo per ogni $n in NN$:
$\sum_(k=0)^(+oo)|a_n|*C_k^n*|x-barx|^k*|barx|^(n-k)le sum_(k=0)^(+oo)|a_n|*C_k^n*(xi_barx-|barx|)^k*|barx|^(n-k)=|a_n|*sum_(k=0)^nC_k^n*(xi_barx-|barx|)^k*|barx|^(n-k)=|a_n|*xi_barx^n$
da cui segue facilmente la maggiorazione:
c) $\sum_(n,k=0)^(+oo)|a_n|*C_k^n*|x-barx|^k*|barx|^(n-k)le \sum_(n=0)^(+oo)|a_n|*xi_barx^n quad$.
Visto che $xi_barx in ]-r,r[$, la serie $\suma_n*xi_barx^n$ è assolutamente convergente (si ricordi la proprietà estremale del raggio di convergenza $r$), onde dalla c) consegue l'assoluta ed incondizionata convergenza della serie doppia $\sum_(n,k) a_n*C_k^n*(x-barx)^k*barx^(n-k) quad$.
Per quanto visto finora è lecito scambiare l'ordine delle sommatorie nel secondo membro di a) a patto di restringere l'insieme in cui varia $x$ ad un intervallo di centro $barx$ e semiampiezza $delta_barx$:
d) $quad AAx in (barx-delta_barx,barx+delta_barx), f(x)=\sum_(k=0)^(+oo)\sum_(n=0)^(+oo)a_n*C_k^n*barx^(n-k)*(x-barx)^k$;
posto al solito:
$AAk in NN, b_k=\sum_(n=0)^(+oo)a_n*C_k^n*barx^(n-k) quad$ (*)
la d) prende la forma:
f) $quad AAx in (barx-delta_barx,barx+delta_barx), f(x)=\sum_(k=0)^(+oo)b_k*(x-barx)^k$.
Stante l'arbitrarietà nella sceltadi $barx$, da quanto detto consegue che la P) è verificata con la successione $(b_n)$ definita dalla (*) (seppur cambiando il nome dell'indice) e con $rho_barx=delta_barx>0$.
Noto che, essendo $rho_barx=xi_barx-|barx|$, la convergenza dell'elemento analitico $\sum b_n*(x-barx)^n$ è assicurata in un cerchio interno al cerchio di convergenza dell'elemento analitico di $f$ centrato in $0$: ciò significa che l'effettivo raggio di convergenza $r_barx$ di $\sumb_n*(x-barx)^n$ gode della seguente proprietà:
$AA xi_barx in]|barx|,r[, quad r_barx ge xi_barx-|barx| quad=>quad r_barx ge r-|barx|$
(la conseguente si ottiene passando ambo i membri della disuguaglianza antecedente all'estremo superiore risp. a $xi_barx$).
La disuguaglianza al secondo membro dell'implicazione precedente è importantissima, poichè asserisce che il raggio di convergenza del nuovo elemento analitico di $f$ è non inferiore alla distanza del suo centro (cioè $barx$) dalla frontiera del cerchio di convergenza dell'elemento analitico di partenza (cioè $]-r,r[$): questo è il punto di partenza del cosiddetto Metodo del Prolungamento Analitico.
Infine, forse si può aggiustare la dimostrazione per le serie di potenze in una variabile complessa, ma non ho avuto modo di pensarci nel fine settimana. Prova, non si sa mai che tu non riesca a tirar fuori un risultato migliore del mio.
La dimostrazione l'ho abbastanza capita, però c'è una cosa su cui vorrei un chiarimento, proprio all'inizio, quando si dice che dimostrare la tesi equivale a dimostrare
$quad AA barx in ]-r,r[,exists (b_n) subset RR " ed " exists rho_barx>0:quad AA x in (barx-rho_barx,barx+rho_barx), f(x)=\sum_(n=0)^(+oo)b_n*(x-barx)^n$
Ciò che mi lascia perplesso è che sia sufficiente l'esistenza della successione $(b_n)$, non dovrebbe essere una in particolare?
Ovvero la successione delle derivate divise per il fattoriale dell'ordine di derivazione?
P.S. Nella dimostrazione hai saltato il punto e)
P.P.S. Grazie a tutti per le risposte.
Vedi... Non ricordavo affatto di aver fatto i conti.
Ad ogni modo, per quanto riguarda la tua difficoltà sui coefficienti $(b_n)$, tieni presente che se una funzione $f(x)$ si sviluppa in serie di potenze con centro in $\bar(x)$, ossia se risulta $f(x)=\sum_(n=0)^\infty b_n (x-\bar(x))^n$ in un conveniente intorno di $\bar(x)$, allora la serie $\sum_(n=0)^\infty b_n (x-\bar(x))^n$ coincide necessariamente con la serie di Taylor di $f$ (questo è un risultato elementare)... In altre parole, se una funzione è analitica in $\bar(x)$ (cioè se esiste $(b_n)$ tale che $f(x)=\sum_(n=0)^\infty b_n (x-\bar(x))^n$ intorno a $\bar(x)$), allora il suo sviluppo in serie è quello di Taylor (i.e. risulta $b_n=1/(n!) f^((n))(\bar(x))$).
Ad ogni modo, per quanto riguarda la tua difficoltà sui coefficienti $(b_n)$, tieni presente che se una funzione $f(x)$ si sviluppa in serie di potenze con centro in $\bar(x)$, ossia se risulta $f(x)=\sum_(n=0)^\infty b_n (x-\bar(x))^n$ in un conveniente intorno di $\bar(x)$, allora la serie $\sum_(n=0)^\infty b_n (x-\bar(x))^n$ coincide necessariamente con la serie di Taylor di $f$ (questo è un risultato elementare)... In altre parole, se una funzione è analitica in $\bar(x)$ (cioè se esiste $(b_n)$ tale che $f(x)=\sum_(n=0)^\infty b_n (x-\bar(x))^n$ intorno a $\bar(x)$), allora il suo sviluppo in serie è quello di Taylor (i.e. risulta $b_n=1/(n!) f^((n))(\bar(x))$).
Già, cavolo, mi stavo perdendo in un bicchier d'acqua, grazie gugo82!
Prego!
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