Funzioni analitiche
Dimostrare che $v(x,y)=2y(x-1)$ può essere considerata la parte immaginaria di una funzione analitica $f(x,y)=u+iv$. Determinare la sua parte reale $u(x,y)$, assumendo $f(0,0)=0$. Dimostrare che si può scrivere $f(x,y)=F(z)=z^2-2z$.
La dimostrazione è banale e non la scrivo.
Per le condizioni di Cauchy-Riemann ho che
\[\frac{\partial}{\partial y}v=2x-2=\frac{\partial}{\partial x}u\]
da cui
\[u(x,y)=x^2-2x+C(y)\]
dove $C(y)$ è la costante dell'integrazione in $x$, dipendente da $y$.
Ho poi
\[-\frac{\partial}{\partial y}u=-C'(y)=\frac{\partial}{\partial x}v=2y\]
da cui $C(y)=-y^2 + k$. Quindi, imponendo la condizione $f(0,0)=0$, ottengo, con poca algebra,
\[f(x,y)=(x+iy)^2-2(x+iy).\]
Posto $z=x+iy$, ottengo $f(x,y)=F(z)=z^2-2z$.
Calcolare \(\int_A^B F(z)dz\) lungo un qualsiasi (perché?) cammino che collega il punto $A=(0,0)$ con il punto $B=1+i$.
Una primitiva di $F(z)$ è $G(z)=z^3 /3 -z^2$, dunque l'integrale richiesto è
\[G(B)-G(A)=G(B)=\frac{(1+i)^3}{3} -(1+i)^2.\]
Calcolabile lungo un qualsiasi percorso perché $F$ è conservativa.
È corretto? Grazie a tutti.
La dimostrazione è banale e non la scrivo.
Per le condizioni di Cauchy-Riemann ho che
\[\frac{\partial}{\partial y}v=2x-2=\frac{\partial}{\partial x}u\]
da cui
\[u(x,y)=x^2-2x+C(y)\]
dove $C(y)$ è la costante dell'integrazione in $x$, dipendente da $y$.
Ho poi
\[-\frac{\partial}{\partial y}u=-C'(y)=\frac{\partial}{\partial x}v=2y\]
da cui $C(y)=-y^2 + k$. Quindi, imponendo la condizione $f(0,0)=0$, ottengo, con poca algebra,
\[f(x,y)=(x+iy)^2-2(x+iy).\]
Posto $z=x+iy$, ottengo $f(x,y)=F(z)=z^2-2z$.
Calcolare \(\int_A^B F(z)dz\) lungo un qualsiasi (perché?) cammino che collega il punto $A=(0,0)$ con il punto $B=1+i$.
Una primitiva di $F(z)$ è $G(z)=z^3 /3 -z^2$, dunque l'integrale richiesto è
\[G(B)-G(A)=G(B)=\frac{(1+i)^3}{3} -(1+i)^2.\]
Calcolabile lungo un qualsiasi percorso perché $F$ è conservativa.
È corretto? Grazie a tutti.
Risposte
Per me OK.
Nota che, per mostrare che \(v\) può essere riguardato come il coefficiente della parte immaginaria (o anche come parte reale) di una funzione olomorfa, occorre e basta provare che il laplaciano di \(v\) è nullo.
Dato che:
\[
v_{xx} = 0 \qquad \text{e} \qquad v_{yy}=0
\]
hai \(\Delta v=0\) e quindi hai finito. In questo modo, però, non determini esplicitamente chi è \(f(z)\).
Nota che, per mostrare che \(v\) può essere riguardato come il coefficiente della parte immaginaria (o anche come parte reale) di una funzione olomorfa, occorre e basta provare che il laplaciano di \(v\) è nullo.
Dato che:
\[
v_{xx} = 0 \qquad \text{e} \qquad v_{yy}=0
\]
hai \(\Delta v=0\) e quindi hai finito. In questo modo, però, non determini esplicitamente chi è \(f(z)\).
"gugo82":
Per me OK.
Nota che, per mostrare che \(v\) può essere riguardato come il coefficiente della parte immaginaria (o anche come parte reale) di una funzione olomorfa, occorre e basta provare che il laplaciano di \(v\) è nullo.
Dato che:
\[
v_{xx} = 0 \qquad \text{e} \qquad v_{yy}=0
\]
hai \(\Delta v=0\) e quindi hai finito.
Per dimostrare che può essere quello che chiede avevo fatto così, sì, $\nabla^2 v =0$. Non conosco altri modi! Quali altri metodi ci sono? Magari a volte possono essere più immediati.
"gugo82":
In questo modo, però, non determini esplicitamente chi è \(f(z)\).
Non ho capito questo. Cosa intendi?
E poi, riguardo, il calcolo dell'integrale, essendo $u,v$ due funzioni armoniche e quindi derivabili da potenziali, è corretto e sufficiente dire..?
Calcolabile lungo un qualsiasi percorso perché $F$ è conservativa.
"giuliofis":
[quote="gugo82"]Per me OK.
Nota che, per mostrare che \(v\) può essere riguardato come il coefficiente della parte immaginaria (o anche come parte reale) di una funzione olomorfa, occorre e basta provare che il laplaciano di \(v\) è nullo.
Dato che:
\[
v_{xx} = 0 \qquad \text{e} \qquad v_{yy}=0
\]
hai \(\Delta v=0\) e quindi hai finito.
Per dimostrare che può essere quello che chiede avevo fatto così, sì, $\nabla^2 v =0$. Non conosco altri modi! Quali altri metodi ci sono? Magari a volte possono essere più immediati.[/quote]
Beh o calcoli il laplaciano o usi Cauchy-Riemann (come hai fatto tu).
P.S.: Io uso \(\Delta\) dove tu usi \(\nabla^2\).
"giuliofis":
[quote="gugo82"]In questo modo, però, non determini esplicitamente chi è \(f(z)\).
Non ho capito questo. Cosa intendi?[/quote]
Intendo che se calcoli il laplaciano e ti viene nullo, puoi dire che una funzione è parte reale o coefficiente dell'immaginario di una funzione olomorfa, senza determinare esplicitamente tale funzione (la quale va determinata necessariamente usando le C-R).
Va da sé che se ti serve determinare esplicitamente la funzione olomorfa in questione, usare il laplaciano non è granché utile.
"giuliofis":
E poi, riguardo, il calcolo dell'integrale, essendo $u,v$ due funzioni armoniche e quindi derivabili da potenziali, è corretto e sufficiente dire..?
Calcolabile lungo un qualsiasi percorso perché $F$ è conservativa.
Beh, a livello di terminologia, no.
In realtà è il campo vettoriale \((u,v)\) ad essere conservativo, oppure le due forme differenziali lineari reali nascoste dentro \(F(z)\ \text{d} z\) ad essere esatte... Ma dire che una funzione olomorfa è conservativa non ha senso.
La \(F\), tuttavia, è dotata di primitiva olomorfa, quindi l'integrale si calcola usando il teorema fondamentale del Calcolo proprio come se avessi a che fare con funzioni reali.
"gugo82":
[quote="giuliofis"][quote="gugo82"]Per me OK.
Nota che, per mostrare che \(v\) può essere riguardato come il coefficiente della parte immaginaria (o anche come parte reale) di una funzione olomorfa, occorre e basta provare che il laplaciano di \(v\) è nullo.
Dato che:
\[
v_{xx} = 0 \qquad \text{e} \qquad v_{yy}=0
\]
hai \(\Delta v=0\) e quindi hai finito.
Per dimostrare che può essere quello che chiede avevo fatto così, sì, $\nabla^2 v =0$. Non conosco altri modi! Quali altri metodi ci sono? Magari a volte possono essere più immediati.[/quote]
Beh o calcoli il laplaciano o usi Cauchy-Riemann (come hai fatto tu).[/quote]
Per la dimostrazione (che non ho scritto) della domanda su $v$ avevo usato il laplaciano, ma ho letto cosa mi hai scritto dopo, grazie!
"gugo82":
[quote="giuliofis"][quote="gugo82"]In questo modo, però, non determini esplicitamente chi è \(f(z)\).
Non ho capito questo. Cosa intendi?[/quote]
Intendo che se calcoli il laplaciano e ti viene nullo, puoi dire che una funzione è parte reale o coefficiente dell'immaginario di una funzione olomorfa, senza determinare esplicitamente tale funzione (la quale va determinata necessariamente usando le C-R).
Va da sé che se ti serve determinare esplicitamente la funzione olomorfa in questione, usare il laplaciano non è granché utile.[/quote]
Ok, ho capito. La mia insegnante nell'unico esercizio del genere fatto a lezione (pur essendoci sempre all'esame un esercizio simile) ha usato comunque il laplaciano, anche se in effetti è poco utile.
"gugo82":
[quote="giuliofis"]E poi, riguardo, il calcolo dell'integrale, essendo $u,v$ due funzioni armoniche e quindi derivabili da potenziali, è corretto e sufficiente dire..?
Calcolabile lungo un qualsiasi percorso perché $F$ è conservativa.
Beh, a livello di terminologia, no.
In realtà è il campo vettoriale \((u,v)\) ad essere conservativo, oppure le due forme differenziali lineari reali nascoste dentro \(F(z)\ \text{d} z\) ad essere esatte... Ma dire che una funzione olomorfa è conservativa non ha senso.
La \(F\), tuttavia, è dotata di primitiva olomorfa, quindi l'integrale si calcola usando il teorema fondamentale del Calcolo proprio come se avessi a che fare con funzioni reali.[/quote]
Tutto chiaro. Grazie mille. Allora se mi verrà fatta questa domanda dirò che $(u,v)$ è conservativo essendo $u,v$ armoniche e quindi derivabili da potenziali. È corretto così?
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