Funzioni algebriche

[beppe12]

se io ho la funzione:

2x + radq(x^2 + 1)
------------------
2x + 1


il dominio è per ogni x tranne -1/2
gli zeri come sono?

perfavore aiutatemi...(

[Camillo]

Il dominio è corretto: hai escluso il valore che annulla il denominatore ;in generale bisogna anche porre >= 0 quanto sotto radice ma nel tuo caso essendo la somma di due quadrati è sempre positivo e quindi non hai restrizioni aggiuntive al dominio che è tutto R escluso x = -1/2.
Per trovare gli zeri poni uguale a zero la funzione e quindi il numeratore : rad(x^2+1) = -2x da cui :
3 x^2= 1 e quindi : x= +- rad(3)/3.Devi ora considerare che solo la radice negativa è accettabile perchè è chiaro che il numeratore si annulla solo se x è < 0.L'altra radice si è introdotta elevando al quadrato entrambi i membri, ma va scartata.
Quindi lo zero della funzione si ha per : x=-rad(3)/3.

[beppe12]

nn capisco come fa ad uscire 3 x^2=1, nn dovrebbe essere 5x^2
perchè si fa il quadrato ad entrambi i mebri no?

se faccio il quadrato ad entrambi i mebri mi esce:

4x^2 + x^2 + 1 = 0

5x^2 +1 =0 da cui x=impossibile!!!!!

Modificato da - beppe il 29/01/2004 13:32:29

[keplero1]

Ti faccio vedere i passaggi che ha fatto camillo:

dominio: 



  radicando >= 0 quindi x^2 + 1 >=0: 

    sempre

  denominatore != 0 (!= diverso) quindi 2x + 1 != 0: 

    2x != -1

    x != -1/2



zeri:



  poniamo il numeratore = 0 quindi 2x + sqrt(x^2 + 1) = 0:

    sqrt(x^2 + 1) = -2x

    elevo al quadrato:

    x^2 + 1 = 4x^2

    3x^2 = 1

    x = +/- sqrt(3)/3

    si scarta la radice positiva

    l'unico zero è - sqrt(3)/3.    

ciao!

[beppe12]

er come mai, come faccio io nn si puo fare e mi esce un altro risultato?che sbaglio?nn dovrebbe uscire lo stesso?

ahhh ho capito, se facci il quadrato prima nn se ne va la radice pechè è il quadrato di un binomio, me l'ero dimenticato )
cmq nn dovrebbe uscire x =+ o - rad (1/3)????

Modificato da - beppe il 29/01/2004 13:40:32

[keplero1]

No, la radice positiva la togli di mezzo. Se guardi bene il numeratore, ti accorgi che:

1. x^2 + 1, che sta sotto radice, è sempre maggiore di zero, la stessa radice, comunque, risulterà maggiore di zero per ogni x

2. Quando x è maggiore di zero, logicamente anche 2x lo sarà e quindi, avendo una quantità positiva sommata ad un'altra pure positiva (la radice), lo zero te lo puoi fare fritto.

Ecco perchè, necessariamente, l'eventuale candidato zero dovrà essere negativo, e quindi mandi a quel paese la radice positiva, risultato dell'elevazione al quadrato di entrambi i membri. Spero sia chiaro.

Infine, ti spiego pure il fatto di perchè non ti può venire

5x^2 + 1 = 0

anche se credo tu lo abbia capito. Puoi elevare a quadrato entrambi i membri dell'equazione (ho detto membri), quindi se non sposti 2x a destra, ed elevi subito a quadrato, ti esce questo, pressappoco:

4x^2 + 4x * sqrt(x^2 + 1) + x^2 + 1 = 0

o almeno credo.

[beppe12]

ok ho capito grazie

[beppe12]

se ho ad esempio

radq(x+1)
---------
x+1

il dominio sarà

x != -1
e x+1 >= 0 => x>=-1

e poi che si deve fare?

io di solito faccio un sistema di disequazioni e vedo attraverso il grafico dov'è positiva e dov'è negativa!

e quindi i esce x > -1
giusto?
o faccio un procedimento sbaglato?

[fireball1]

Il dominio della funzione:

radq(x+1)
---------
x+1

si trova ponendo a sistema le disequazioni:

{x+1>=0
{x+1>0

{x>=-1
{x>-1

Pertanto la soluzione del sistema è x>-1 e allora scriveremo, chiamando D il dominio:
D{x|x € R, x>-1}

Ricordati che il denominatore non va mai posto maggiore uguale a zero,
in quanto così facendo includi anche i valori per cui esso si annulla e questo non deve succedere!

[beppe12]

si si, lo so infatti ho scritto x != -1, (!=diverso)

[keplero1]

Non ci sono zeri, in tutto il dominio di questa funzione. Per prima cosa, hai una radice, quindi come hai giustamente fatto tu, ti segni che la x deve essere per forza >= -1, ma contemporaneamente anche diversa da -1 (perchè non si annulli il denomitatore). Questo in effetti è un sistema banale:

x >= -1
x != -1

è chiaro che, affinchè queste due relazioni si verifichino contemporaneamente il dominio sarà:

x > 1

per questa ragione, non ci sono zeri (il numeratore non ha mai modo di annullarsi), ma ti puoi vedere, volendo il



Ho usato l'Hopital, perchè veniva una forma indeterminata 0/0. Concludo che è +oo perchè posso beccare il limite solo da destra (vedi dominio). Siamo in presenza un asintoto verticale.

A questo punto, se vuoi, ti puoi dilettare col segno: scopri, ponendo tutta la frazione >= 0 (per vedere dove è positiva e dova è negativa appunto) scopri che, dicevo, ti esce:

x >= -1
x > -1

Banale, la funzione è sempre positiva! Un'altra conferma che non ci sono zeri. Allora mi dirai che sei esigente, e ti vuoi fare lo studio di monotonìa: nessun problema. Ci facciamo la derivata (o meglio la copiamo dal limite!), cambiamo di segno la frazione e la poniamo <= 0:

il numeratore è sempre maggiore di zero (a meno che 1 non decida di cambiare segno spontaneamente, di questi tempi non lo escluderei), e la stessa cosa dicasi per il denominatore, per cui, la frazione non è mai positiva, e la funzione è sempre descrescente, senza estremi relativi. Poi ti puoi fare il limite per x tendente a +oo e con lo stesso ragionamento del limite precedenti concludi che è zero.

[beppe12]

guarda ho capito il 2% di quello che hai detto.
ancoraq nn ho studiato tutte quelle cose che hai detto tu. Faccio ancora il primo anno di ingegneria informatica&biomedica, volevo solo sapere se era giusto quello che ho fatto:)
ciao

[keplero1]

Mi sembra strano... Anche io sto al primo anno di Ingegneria, e ho fatto il classico! Ma fai Analisi? Comunque, scusami, leggendo la risposta di fireball mi sono reso conto che ho "spinto un po' troppo con l'acceleratore"!

[Camillo]

Si poteva anche evitare l'uso di De L'Hopital nel calcolo del limite per x che tende a -1 ricordando che (x+1) può essere scritto come (rad(x+1)^2 e quindi dividendo numeratore e denominatore per rad(x+1)si ottiene :
1/rad(x+1) che per x che tende a : -1+ tende a +00.