Funzioni a variabili,verificare se è differenziabile
Ciao a tutti.
potreste dirmi se il procedimento è giusto o altrimenti spiegarmi come svolgerla...
f(x,y)=(e^x)*cos(y)
è differenziabile nel punto(0,0)?
io l'ho svolta così:
ho verificato se tale funzione è continua facendo il lim(x,y)->(0,0) di e^x *cos(y) che risulta 1
dato che il limite è diverso a zero allora f(x,y) non è continua e di conseguenza neanche differenziabile.
giusto?
rispondete please
grazie
potreste dirmi se il procedimento è giusto o altrimenti spiegarmi come svolgerla...
f(x,y)=(e^x)*cos(y)
è differenziabile nel punto(0,0)?
io l'ho svolta così:
ho verificato se tale funzione è continua facendo il lim(x,y)->(0,0) di e^x *cos(y) che risulta 1
dato che il limite è diverso a zero allora f(x,y) non è continua e di conseguenza neanche differenziabile.
giusto?
rispondete please
grazie
Risposte
"aris":
Ciao a tutti.
potreste dirmi se il procedimento è giusto o altrimenti spiegarmi come svolgerla...
f(x,y)=(e^x)*cos(y)
è differenziabile nel punto(0,0)?
io l'ho svolta così:
ho verificato se tale funzione è continua facendo il lim(x,y)->(0,0) di e^x *cos(y) che risulta 1
dato che il limite è diverso a zero allora f(x,y) non è continua e di conseguenza neanche differenziabile.
giusto?
rispondete please
grazie
La funzione è continua in tutto $mathbb(R)^2$ (si vede a occhio), quindi anche in $(0,0)$ - tant'è vero che si può benissimo calcolare $f(0,0)=1$ senza ricorrere al limite.
Il fatto che sia continua in $(0,0)$, però, non garantisce che sia differenziabile in $(0,0)$. Perché lo sia devi controllare se:
$lim_((h,k) to (0,0)) (f(h,k)-f(0,0)-f_x(0,0)h-f_y(0,0)k)/(sqrt(h^2+k^2))=0$
Controlla e facci sapere
Ho fatto le derivate parziali rispetto a x e rispetto a y ed entrambe mi risultano +∞ e -∞
ma a ne sembra strano
ma a ne sembra strano
"Brancaleone":
La funzione è continua in tutto $mathbb(R)^2$ (si vede a occhio)
Ad occhio mi sembra di vedere una figata di grafico, provo a illustrarlo:
se ci muoviamo lungo le direzioni parallele all'asse y troviamo che la nostra funzione è periodica e l'ampiezza aumenta se ci allontaniamo dall'origine nel I e IV quadrante, mentre diminuisce fino quasi ad appiattirsi sul piano $xy$ quando ci allontaniamo dall'origine nel II e III quadrante.
Ma senza stare a fare tanti calcoli, le derivate conterranno esponenziali e funzioni circolari variamente sommate e moltiplicate tra loro (mai divise), definite anch'esse su tutto $\mathbb{R}^2$ e ivi continue, quindi non vedo problemi nell'applicare il Teorema del Differenziale Totale... Sbaglio?
i calcoli che io faccio sono:
lim(x,y)->(0,0) e^x*cos(y)=e^0*cos(0)=1
poi calcolo le derivate parzali facendo
lim(h->0) {f(h,0)-f(0,0)}/h =e^h*cos(0)/h =
lim(h->0^+) =e^h*cos(0)/h =+∞
lim(h->0^-) =e^h*cos(0)/h =-∞
poi faccio
lim(k->0) {f(0,k)-f(0,0)}/k =e^0*cos(k)/k =
lim(k->0^+) =e^0*cos(k)/k=+∞
lim(k->0^-) =e^0*cos(k)/k =-∞
e da qui in poi non so cosa fare.
lim(x,y)->(0,0) e^x*cos(y)=e^0*cos(0)=1
poi calcolo le derivate parzali facendo
lim(h->0) {f(h,0)-f(0,0)}/h =e^h*cos(0)/h =
lim(h->0^+) =e^h*cos(0)/h =+∞
lim(h->0^-) =e^h*cos(0)/h =-∞
poi faccio
lim(k->0) {f(0,k)-f(0,0)}/k =e^0*cos(k)/k =
lim(k->0^+) =e^0*cos(k)/k=+∞
lim(k->0^-) =e^0*cos(k)/k =-∞
e da qui in poi non so cosa fare.
Ciao Aris,
per fare in modo che i tuoi conti siano più leggibili è opportuno includerli nel simbolo del dollaro, dopo 30 messaggi l'uso dei codici diventa obbligatorio.
Per i limiti fai "cita" e vedi come ho fatto io
$lim_(k->0^+)$
per fare in modo che i tuoi conti siano più leggibili è opportuno includerli nel simbolo del dollaro, dopo 30 messaggi l'uso dei codici diventa obbligatorio.
Per i limiti fai "cita" e vedi come ho fatto io
$lim_(k->0^+)$
ripeto i calcoli come mi ha suggerito gio73
$lim_((h,k) to (0,0)) (e^x*cos(y))=(e^0*cos(0))=1$
le derivate parziali
$lim_(h to 0) ((f(h,0)-f(0,0))/h)=((e^h*cos(0))/h)$
$lim_(h to 0^+) ((f(h,0)-f(0,0))/h)=((e^h*cos(0))/h)=+\infty$
$lim_(h to 0^-) ((f(h,0)-f(0,0))/h)=((e^h*cos(0))/h)=-\infty$
$lim_(k to 0) ((f(0,k)-f(0,0))/k)=((e^0*cos(k))/k)$
$lim_(k to 0^+) ((f(0,k)-f(0,0))/k)=((e^0*cos(k))/k)=+\infty$
$lim_(k to 0^-) ((f(0,k)-f(0,0))/k)=((e^0*cos(k))/k)=-\infty$
e da qui in poi come non so procedere
$lim_((h,k) to (0,0)) (e^x*cos(y))=(e^0*cos(0))=1$
le derivate parziali
$lim_(h to 0) ((f(h,0)-f(0,0))/h)=((e^h*cos(0))/h)$
$lim_(h to 0^+) ((f(h,0)-f(0,0))/h)=((e^h*cos(0))/h)=+\infty$
$lim_(h to 0^-) ((f(h,0)-f(0,0))/h)=((e^h*cos(0))/h)=-\infty$
$lim_(k to 0) ((f(0,k)-f(0,0))/k)=((e^0*cos(k))/k)$
$lim_(k to 0^+) ((f(0,k)-f(0,0))/k)=((e^0*cos(k))/k)=+\infty$
$lim_(k to 0^-) ((f(0,k)-f(0,0))/k)=((e^0*cos(k))/k)=-\infty$
e da qui in poi come non so procedere
@Aris: guarda che $f(0,0)=e^{0}cdot cos(0)=1$, e non $0$ come dai tuoi calcoli sembra tu abbia assunto
no no so che fa 1 perchè $e^0=1$ e cos(0)=1 quindi 1*1=1
ma per quanto riguarda
$lim_(h to 0^+) ((f(h,0)-f(0,0))/h)=((e^h*cos(0))/h)=+\infty$
è una forma indeterminata del tipo 1/0 quindi fa $+\infty$?
ma per quanto riguarda
$lim_(h to 0^+) ((f(h,0)-f(0,0))/h)=((e^h*cos(0))/h)=+\infty$
è una forma indeterminata del tipo 1/0 quindi fa $+\infty$?
L'errore è proprio lì:
il calcolo corretto è $lim_(h to 0^+) ((f(h,0)-f(0,0))/h)=lim_(h to 0^+)((e^h*cos(0)-1)/h)$, che per un limite notevole vale $1$.
"aris":,
$lim_(h to 0^+) ((f(h,0)-f(0,0))/h)=((e^h*cos(0))/h)=+\infty$
il calcolo corretto è $lim_(h to 0^+) ((f(h,0)-f(0,0))/h)=lim_(h to 0^+)((e^h*cos(0)-1)/h)$, che per un limite notevole vale $1$.
Palliit scusa se insisto ma perchè aggiungi -1
io ho verificato questi limiti su questo sito
http://www.wolframalpha.com/input/?i=li ... %29%29%2Fh
ma quindi non è affidabile?
io ho verificato questi limiti su questo sito
http://www.wolframalpha.com/input/?i=li ... %29%29%2Fh
ma quindi non è affidabile?
Vale:
$f(h,0)=e^h \cos(0)=e^h$ ,
$f(0,0)=1$ ,
quindi sostituendo hai:
$lim_(h to 0^+) (f(h,0)-f(0,0))/h=lim_(h to 0^+)(e^h-1)/h=1$ .
E lo stesso errore compare in tutti gli altri limiti che hai postato nella pagina precedente.
$f(h,0)=e^h \cos(0)=e^h$ ,
$f(0,0)=1$ ,
quindi sostituendo hai:
$lim_(h to 0^+) (f(h,0)-f(0,0))/h=lim_(h to 0^+)(e^h-1)/h=1$ .
E lo stesso errore compare in tutti gli altri limiti che hai postato nella pagina precedente.
quindi
$lim_(h to 0^-) (f(h,0)-f(0,0))/h=lim_(h to 0^-)(e^h-1)/h=-1$ ????
e dato che +1 diverso da -1 il limite non esiste?
$lim_(h to 0^-) (f(h,0)-f(0,0))/h=lim_(h to 0^-)(e^h-1)/h=-1$ ????
e dato che +1 diverso da -1 il limite non esiste?
No, sia il limite destro sia il sinistro valgono $1$ .
mentre per il
$lim_(k to 0) (f(0,k)-f(0,0))/k$
faccio quindi
$f(0,k)=e^0*cos(k)=cos(k)$
$f(0,0)=e^0*cos(0)=1$
quindi
$lim_(k to 0^+)((cos(k)-1)/k)=0$
$lim_(k to 0^-)((cos(k)-1)/k)=0$
$lim_(k to 0) (f(0,k)-f(0,0))/k$
faccio quindi
$f(0,k)=e^0*cos(k)=cos(k)$
$f(0,0)=e^0*cos(0)=1$
quindi
$lim_(k to 0^+)((cos(k)-1)/k)=0$
$lim_(k to 0^-)((cos(k)-1)/k)=0$
Mi pare corretto.
ti ringrazio per i chiarimenti
il gradiente risulta $(1,0)$
mentre per la differenziabilità verifico che
$lim_((h,k) to (0,0)) (f(h,k)-f(0,0)-f_x(0,0)h-f_y(0,0)k)/(sqrt(h^2+k^2))=0$
$f(h,k)=e^h*cos(k)$
$f(0,0)=1$
ma in $f_x(0,0)h-f_y(0,0)k$ cosa metto?
il gradiente risulta $(1,0)$
mentre per la differenziabilità verifico che
$lim_((h,k) to (0,0)) (f(h,k)-f(0,0)-f_x(0,0)h-f_y(0,0)k)/(sqrt(h^2+k^2))=0$
$f(h,k)=e^h*cos(k)$
$f(0,0)=1$
ma in $f_x(0,0)h-f_y(0,0)k$ cosa metto?
E' una semplice sostituzione
Derivata parziale rispetto a $x$ in $(0,0)$ = $f_x(0,0)=1$
Derivata parziale rispetto a $y$ in $(0,0)$ = $f_y(0,0)=0$
e perciò
$lim_((h,k) to (0,0)) (f(h,k)-f(0,0)-f_x(0,0)h-f_y(0,0)k)/(sqrt(h^2+k^2))=lim_((h,k) to (0,0)) (e^h cosk-1-1 cdot h-0 cdot k)/(sqrt(h^2+k^2))$
Derivata parziale rispetto a $x$ in $(0,0)$ = $f_x(0,0)=1$
Derivata parziale rispetto a $y$ in $(0,0)$ = $f_y(0,0)=0$
e perciò
$lim_((h,k) to (0,0)) (f(h,k)-f(0,0)-f_x(0,0)h-f_y(0,0)k)/(sqrt(h^2+k^2))=lim_((h,k) to (0,0)) (e^h cosk-1-1 cdot h-0 cdot k)/(sqrt(h^2+k^2))$
$lim_((h,k) to (0,0)) (f(h,k)-f(0,0)-f_x(0,0)h-f_y(0,0)k)/(sqrt(h^2+k^2))=lim_((h,k) to (0,0)) (e^h cosk-1-1 cdot h-0 cdot k)/(sqrt(h^2+k^2))$
a me risulta che non esiste quindi la funzione non è differenziabile
esatto?
a me risulta che non esiste quindi la funzione non è differenziabile
esatto?
A me invece pare che venga proprio zero.
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