Funzioni a variabili,verificare se è differenziabile

[aris3]

Ciao a tutti.
potreste dirmi se il procedimento è giusto o altrimenti spiegarmi come svolgerla...
f(x,y)=(e^x)*cos(y)
è differenziabile nel punto(0,0)?
io l'ho svolta così:
ho verificato se tale funzione è continua facendo il lim(x,y)->(0,0) di e^x *cos(y) che risulta 1
dato che il limite è diverso a zero allora f(x,y) non è continua e di conseguenza neanche differenziabile.
giusto?

rispondete please

grazie

[gio73]

Ciao Ciampax, approfitto del tuo intervento per chiederti un chiarimento:
il grafico di questa funzione è piuttosto facile da visualizzare, posso fare delle considerazioni del tipo:
1) la funzione è definita nell'origine e vale 1
2) è continua ovunque
3) non ci sono "increspature" da nessuna parte
4) è differenziabile ovunque

sono conclusioni affrettate?

[aris3]

scusa ciampax
ma come ti viene zero?

[ciampax]

@gio: sì, sono esattamente le cose a cui uno dovrebbe far riferimento per rendersi conto di quale sia la risposta corretta. Ma ci sono 2 problemi nel risolvere un tale questito come fai tu: 1) ci vuole molta esperienza e a volte l'occhio non basta; 2) non conviene mai risolvere un esercizio a "chiacchiere" se ci sono calcoli precisi da poter fare che dimostrano quello che hai intuito.

@aris: puoi sviluppare le due funzioni $e^h,\ \cos k$ in un intorno di $h=,\ k=0$ rispettivamente: si ha
$e^h=1+h+{h^2}/2+o(h^2),\qquad \cos k=1-{k^2}/2+o(k^2)$

e quindi al numeratore si ha

$e^h\cos k-1-h=(1+h+{h^2}/2+o(h^2))(1-{k^2}/2+o(k^2))-1-h=$
$=1+h+{h^2}/2-{k^2}/2-{hk^2}/2-{h^2 k^2}/4+o(h^2)+o(k^2)-1-h=$
$=1/2(h^2-k^2)+o(...)$

Ora, passando a coordinate polari $h=\rho\cos t,\ k=\rho\sin t$ si ha il limite nella forma

$\lim_{\rho\to 0} 1/2\cdot{\rho^2(\cos^2 t-\sin^2 t)}/{\rho}=1/2\lim_{\rho\to 0}\ \rho\cos(2t)=0$

P.S.: in realtà anche facendo direttamente il passaggio a coordinate polari si capisce che il limite debba essere così, solo che è un po' più rognoso scrivere lo sviluppo.

[gio73]

Grazie Ciampax

[aris3]

grazie mille