Funzioni a supporto compatto e derivate deboli
salve a tutti, ho dei seri dubbi che non riesco a sciogliere perchè su internet spulciando pagine qua e là ho trovato pareri discordanti...
le funzioni a supporto compatto valgono proprio 0 o tendono a 0 sulle code???
e in più devono essere sempre derivabili infinite volte per essere definite tali???
in più vi trascrivo un passaggio tratto dai miei appunti che non riesco a capire...
$\int_{-oo}^{oo} u'\phi dx$ $=[u\phi]_{oo}^{oo}$ $\int_{-oo}^{oo} u\phi' dx$
dove $u in C^1(RR)$
e $\phi in C_{c}^{oo}(a,b)$ ovvero è una funzione con supporto compatto
non capisco perchè debba dire che il termine $=[u\phi]_{oo}^{oo}$ valga proprio 0!!!
vi ringrazio in anticipo per la disponibilità...
le funzioni a supporto compatto valgono proprio 0 o tendono a 0 sulle code???
e in più devono essere sempre derivabili infinite volte per essere definite tali???
in più vi trascrivo un passaggio tratto dai miei appunti che non riesco a capire...
$\int_{-oo}^{oo} u'\phi dx$ $=[u\phi]_{oo}^{oo}$ $\int_{-oo}^{oo} u\phi' dx$
dove $u in C^1(RR)$
e $\phi in C_{c}^{oo}(a,b)$ ovvero è una funzione con supporto compatto
non capisco perchè debba dire che il termine $=[u\phi]_{oo}^{oo}$ valga proprio 0!!!
vi ringrazio in anticipo per la disponibilità...
Risposte
Le funzioni a supporto compatto valgono $0$ fuori da un intervallo compatto. E quindi, con il tuo linguaggio, "valgono proprio $0$" e non solamente "tendono a $0$" sulle code. Perciò quando scrivi $[u\phi]_{-\infty}^\infty$, cioè
\[
\lim_{a\to +\infty, b\to-\infty} u(a)\varphi(a)-u(b)\varphi(b)
\]
ottieni $0$ perché per ogni $a, b$ sufficientemente grandi in valore assoluto si ha $\phi(a)=\phi(b)=0$.
\[
\lim_{a\to +\infty, b\to-\infty} u(a)\varphi(a)-u(b)\varphi(b)
\]
ottieni $0$ perché per ogni $a, b$ sufficientemente grandi in valore assoluto si ha $\phi(a)=\phi(b)=0$.
oddio la nebbia comincia a diradarsi! che brutalità avevo scritto!?! eheh! quasi me ne vergogno...
quindi ecco che subentra il concetto di derivata debole...
non ha più senso integrare da meno infinito a più infinito ma è sufficiente da $a$ a $b$
quindi diremo che u è derivabile se vale
$\int_{a}^{b} u'\phi dx$ $=-\int_{a}^{b} u\phi' dx$
in particolare definiamo $u'$ derivata debole di $u$ se esiste una funzione $g$ tale che
$\int_{a}^{b} g\phi dx$ $=-\int_{a}^{b} u\phi' dx$
dove $g=u'$
giusto???
correggetemi se sbaglio...
scusate la domanda forse un po' banale ma non sono sicuro di aver capito tanto bene
quindi ecco che subentra il concetto di derivata debole...
non ha più senso integrare da meno infinito a più infinito ma è sufficiente da $a$ a $b$
quindi diremo che u è derivabile se vale
$\int_{a}^{b} u'\phi dx$ $=-\int_{a}^{b} u\phi' dx$
in particolare definiamo $u'$ derivata debole di $u$ se esiste una funzione $g$ tale che
$\int_{a}^{b} g\phi dx$ $=-\int_{a}^{b} u\phi' dx$
dove $g=u'$
giusto???
correggetemi se sbaglio...
scusate la domanda forse un po' banale ma non sono sicuro di aver capito tanto bene
Ma sai qual è il problema a fare così? Che \(a\) e \(b\) dipendono da \(\varphi\). Quella relazione deve valere per ogni funzione \(C^\infty\) e a supporto compatto \(\varphi\) (in gergo \(\varphi\) si chiama funzione test), e tu chiaramente ne puoi trovare con i valori di \(a\) e \(b\) che vuoi. Per esempio, immagina di avere una funzione \(\varphi\) che si annulla fuori da \([-1, 1]\). Definisci una funzione \(\varphi_2\) mediante la relazione
\[\varphi_2(x)=\varphi\left(\frac{x}{2}\right).\]
Se ci pensi un attimo, ti rendi conto che \(\varphi_2\) si annulla fuori da \([-2, 2]\). Quindi vedi come gli estremi del supporto dipendono dalla funzione test. Siccome la relazione deve valere per tutte le funzioni test, non ti resta che scrivere \(\int_{-\infty}^\infty\).
\[\varphi_2(x)=\varphi\left(\frac{x}{2}\right).\]
Se ci pensi un attimo, ti rendi conto che \(\varphi_2\) si annulla fuori da \([-2, 2]\). Quindi vedi come gli estremi del supporto dipendono dalla funzione test. Siccome la relazione deve valere per tutte le funzioni test, non ti resta che scrivere \(\int_{-\infty}^\infty\).
@ dissonance: A meno che non si stia lavorando con test in \(C_c^\infty (]a,b[)\)... 
mmm ho capito...e quando si parla di spazio $L^p$ cosa si intende?
il professore a lezione ci ha detto che $L^p$ è lo spazio a cui appartengono tutte le funzioni $u:\Omega->RR$ tali che
$\int_{Omega}|u|^p < +oo$
il professore ci faceva osservare che l'integrale in questione non è un integrale in senso classico, ma è un integrale di Lebesgue... solo che ha dato ulteriori spiegazioni giustificandosi dicendo che ciò non è nei fini del nostro corso...
Non capisco cos'è questo integrale di Lebesgue e cosa comporta in pratica nella definizione di $L^p$???
il professore a lezione ci ha detto che $L^p$ è lo spazio a cui appartengono tutte le funzioni $u:\Omega->RR$ tali che
$\int_{Omega}|u|^p < +oo$
il professore ci faceva osservare che l'integrale in questione non è un integrale in senso classico, ma è un integrale di Lebesgue... solo che ha dato ulteriori spiegazioni giustificandosi dicendo che ciò non è nei fini del nostro corso...
Non capisco cos'è questo integrale di Lebesgue e cosa comporta in pratica nella definizione di $L^p$???
L'integrale di Lebesgue è un integrale "più potente" del classico integrale di Riemann.
Con "più potente" intendo che 1 sono integrabili nel senso di Lebesgue più funzioni di quante siano integrabili nel senso di Riemann (e.g., la funzione di Dirichlet è integrabile nel senso di Lebesgue e non in quello di Riemann, come sai dal corso di Analisi I) e 2 i passaggi al limite sotto il segno d'integrale sono "più facili", perché non richiedono la convergenza uniforme (bastano la convergenza puntuale quasi ovunque e la possibilità di maggiorare le funzioni della successione con una funzione integrabile secondo Lebesgue, ad esempio).
Tuttavia, la definizione dell'integrale di Lebesgue non è semplice come quella dell'integrale di Riemann, perciò esso non si studia nei corsi di base di Analisi ad Ingegneria o Fisica.
All'ingegnere o al fisico basta sapere che esso esiste e che gode di certe proprietà (come le due richiamate sopra); poi, se vorrà, approfondirà la questione frequentando corsi di Analisi Superiore.
Con "più potente" intendo che 1 sono integrabili nel senso di Lebesgue più funzioni di quante siano integrabili nel senso di Riemann (e.g., la funzione di Dirichlet è integrabile nel senso di Lebesgue e non in quello di Riemann, come sai dal corso di Analisi I) e 2 i passaggi al limite sotto il segno d'integrale sono "più facili", perché non richiedono la convergenza uniforme (bastano la convergenza puntuale quasi ovunque e la possibilità di maggiorare le funzioni della successione con una funzione integrabile secondo Lebesgue, ad esempio).
Tuttavia, la definizione dell'integrale di Lebesgue non è semplice come quella dell'integrale di Riemann, perciò esso non si studia nei corsi di base di Analisi ad Ingegneria o Fisica.
All'ingegnere o al fisico basta sapere che esso esiste e che gode di certe proprietà (come le due richiamate sopra); poi, se vorrà, approfondirà la questione frequentando corsi di Analisi Superiore.
grazie ragazzi!!! con il vostro aiuto sono riuscito a passare egregiamente l'esame!!!
grazie!!!
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