Funzioni a quadrato sommabile (o integrabile)
Salve a tutti!
senx, (senx)^2 sono a quadrato sommabile su tutto R (ovvero da -inf a +inf)?
sono quantità sempre minori di 1, ma il limite per x--> inf di (senx)^2 e (senx)^4 non esiste... Quindi io direi che non appartengono ad L2(R)... O sì? E' giusto fare una stima dell'integrale piuttosto che calcolarlo?
Grazie per l'attenzione!
senx, (senx)^2 sono a quadrato sommabile su tutto R (ovvero da -inf a +inf)?
sono quantità sempre minori di 1, ma il limite per x--> inf di (senx)^2 e (senx)^4 non esiste... Quindi io direi che non appartengono ad L2(R)... O sì? E' giusto fare una stima dell'integrale piuttosto che calcolarlo?
Grazie per l'attenzione!
Risposte
"metafix":
Salve a tutti!
senx, (senx)^2 sono a quadrato sommabile su tutto R (ovvero da -inf a +inf)?
No!
"metafix":
io direi che non appartengono ad L2(R)
Esatto
Ricordati che condizione necessaria per la sommabilità è che la funzione sia infinitesima all'infinito... una funzione periodica di certo non lo è...
Viceversa, la funzione $sint/t$ è quadrato sommabile su $RR$, dunque $sint/t in L^2 (RR)$...
Aggiungo, giusto per precisazione, che il titolo del tuo topic mi sembra un po' ambiguo: i termini "integrabile" e "sommabile" non sono sinonimi: la sommabilità implica l'integrabilità, ma in generale non vale il contrario; una funzione può essere integrabile ma non sommabile... allora si parla di integrale improprio
Ok, ma se non voglio andare a calcolare l'integrale, come faccio una stima corretta?
Supponiamo che la funzione sia senx e mi chiedo se senx appartenga ad L2(R) (so già di no, ma supponiamo che io voglia pervenire a questa conclusione non tramite l'esatto risultato ma tramite una stima fatta sul modulo dell'integrale).
L'integrale tra -inf e +inf di |senx|^2 * dx è uguale a 2 volte l'integrale tra 0 e +inf di (senx)^2 * dx ; (senx)^2 è sempre minore di 1 quindi se esiste l'integrale tra 0 e +inf di 1*dx, esisterà anche 2 volte l'integrale tra 0 e +inf di (senx)^2 * dx. Ma questo integrale diverge... E' corretto il ragionamento?
Supponiamo che la funzione sia senx e mi chiedo se senx appartenga ad L2(R) (so già di no, ma supponiamo che io voglia pervenire a questa conclusione non tramite l'esatto risultato ma tramite una stima fatta sul modulo dell'integrale).
L'integrale tra -inf e +inf di |senx|^2 * dx è uguale a 2 volte l'integrale tra 0 e +inf di (senx)^2 * dx ; (senx)^2 è sempre minore di 1 quindi se esiste l'integrale tra 0 e +inf di 1*dx, esisterà anche 2 volte l'integrale tra 0 e +inf di (senx)^2 * dx. Ma questo integrale diverge... E' corretto il ragionamento?
"metafix":
L'integrale tra -inf e +inf di |senx|^2 * dx è uguale a 2 volte l'integrale tra 0 e +inf di (senx)^2 * dx ; (senx)^2 è sempre minore di 1 quindi se esiste l'integrale tra 0 e +inf di 1*dx, esisterà anche 2 volte l'integrale tra 0 e +inf di (senx)^2 * dx.
Questo è vero...
"metafix":
Ma questo integrale diverge... E' corretto il ragionamento?
Quest'altro no... se una funzione maggiorante non è sommabile non è detto che la funzione di partenza non lo sia... ti faccio un esempio: $e^(-t^2)$ è maggiorata da $1$... $1$ non è sommabile su $RR$ mentre $e^(-t^2)$ sì...
Non c'è nulla da calcolare... una funzione periodica non può essere mai sommabile...
Correggo una cosa: il fatto che una funzione sia infinitesima non è una condizione necessaria per la sommabilità. Se la funzione (guarda il caso, kroldar capirà...) è uniformemente continua, allora sì, se è sommabile su $\RR$ è anche infinitesima allìinfinito.
Ehehehh potevamo quasi dire "lupus in fabula" 
Luca, solo una cosa non mi è chiara: se quella che ho citato io non è condizione necessaria di sommabilità, allora potrebbe esistere una funzione non uniformemente continua, sommabile e che non sia infinitesima all'infinito?
Luca, solo una cosa non mi è chiara: se quella che ho citato io non è condizione necessaria di sommabilità, allora potrebbe esistere una funzione non uniformemente continua, sommabile e che non sia infinitesima all'infinito?
basta mettere degli "spikes" nei punti di coordinata $n$ e curare che siano sempre più appuntiti (penso a dei triangoli di cui ad ogni passo raddoppiare l'altezza dividendo per 4 la base)
questa funzione è continua
volendo si può anche infinitamente lisciare
ovviamente non è unif continua su nessun intorno di infinito
ciao
questa funzione è continua
volendo si può anche infinitamente lisciare
ovviamente non è unif continua su nessun intorno di infinito
ciao
Esatto, stesso esempio che chiedo sempre ai miei studenti...
che fine d'anno triste
ieri licenziato
oggi declassato a studente
e domani, cosa mi riserverà domani?
ieri licenziato
oggi declassato a studente
e domani, cosa mi riserverà domani?
Una serie di finestre triangolari centrate sui numeri interi la cui area totale sia finita (dalla serie geometrica)?
Spike vuol dire (in analogia con l'elettronica) impulso per caso?
Spike vuol dire (in analogia con l'elettronica) impulso per caso?
"Kroldar":
Una serie di finestre triangolari centrate sui numeri interi la cui area totale sia finita (dalla serie geometrica)?
esatto
"Kroldar":
Spike vuol dire (in analogia con l'elettronica) impulso per caso?
sì, quella era la mia intenzione. Ma non so un tubo di elettronica, mi piaceva più che altro il suono della parola. Molto "onomatopeica"
Perfetto...
Meno male che siete intervenuti, altrimenti metafix avrebbe assimilato la mia erronea affermazione... e ho imparato una cosa nuova anch'io...
Meno male che siete intervenuti, altrimenti metafix avrebbe assimilato la mia erronea affermazione... e ho imparato una cosa nuova anch'io...
preso dal mio libro di segnali:
"[...]L’ipotesi di partenza che riterremo valida d’ora in avanti è che il segnale x(t) sia sommabile sul periodo T. Abbiamo già avuto modo di dire che tutti i segnali periodici di interesse pratico verificano questa ipotesi;[...]"
Quindi un segnale periodico è sommabile sul periodo finito ma non è sommabile su un insieme infinito?
Ho le idee abbastanza confuse...comunque in generale, se conosco che un segnale è sommabile non posso dire che è a quadrato sommabile; inoltre, se so che è a quadrato sommabile non posso dire che è sommabile. Il tutto su ipotesi di insiemi infiniti. Però ho letto anche che su insiemi finiti invece c'è una relazione d'ordine tra spazi sommabili e a quadrato sommabili (cioè se è a quadrato sommabile è anche sommabile).
Qualcuno mi delucidi! E' una confusione!
"[...]L’ipotesi di partenza che riterremo valida d’ora in avanti è che il segnale x(t) sia sommabile sul periodo T. Abbiamo già avuto modo di dire che tutti i segnali periodici di interesse pratico verificano questa ipotesi;[...]"
Quindi un segnale periodico è sommabile sul periodo finito ma non è sommabile su un insieme infinito?
Ho le idee abbastanza confuse...comunque in generale, se conosco che un segnale è sommabile non posso dire che è a quadrato sommabile; inoltre, se so che è a quadrato sommabile non posso dire che è sommabile. Il tutto su ipotesi di insiemi infiniti. Però ho letto anche che su insiemi finiti invece c'è una relazione d'ordine tra spazi sommabili e a quadrato sommabili (cioè se è a quadrato sommabile è anche sommabile).
Qualcuno mi delucidi! E' una confusione!
"fabiostyle91":
preso dal mio libro di segnali:
"[...]L’ipotesi di partenza che riterremo valida d’ora in avanti è che il segnale x(t) sia sommabile sul periodo T. Abbiamo già avuto modo di dire che tutti i segnali periodici di interesse pratico verificano questa ipotesi;[...]"
Quindi un segnale periodico è sommabile sul periodo finito ma non è sommabile su un insieme infinito?
Nessuna funzione periodica è sommabile su tutto \(\mathbb{R}\), a meno che essa non sia nulla quasi ovunque.
Infatti, supposto che \(f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}\) è periodica di periodo \(T>0\) e che essa non è q.o. nulla, si ha:
\[
\int_0^T |f(t)|\ \text{d} t = A>0
\]
e ciò importa che:
\[
\int_{-\infty}^\infty |f(t)|\ \text{d} t =\sum_{n=-\infty}^\infty \int_{nT}^{(n+1)T} |f(t)|\ \text{d} t = \sum_{n=-\infty}^\infty A = +\infty\; .
\]
Per lo stesso motivo, una funzione periodica non è a quadrato sommabile in tutto \(\mathbb{R}\), a meno che essa non sia nulla q.o.
"fabiostyle91":
comunque in generale, se conosco che un segnale è sommabile non posso dire che è a quadrato sommabile; inoltre, se so che è a quadrato sommabile non posso dire che è sommabile. Il tutto su ipotesi di insiemi infiniti. Però ho letto anche che su insiemi finiti invece c'è una relazione d'ordine tra spazi sommabili e a quadrato sommabili (cioè se è a quadrato sommabile è anche sommabile).
Certo, se l'insieme \(X\subseteq \mathbb{R}\) ha misura infinita, gli spazi \(L^1(X)\) ed \(L^2(X)\) non sono l'uno contenuto nell'altro, cioè non si ha né \(L^1(X)\subseteq L^2(X)\) né \(L^2(X)\subseteq L^1(X)\).
Tuttavia, se l'insieme \(X\) ha misura finita, allora \(L^2(X)\subseteq L^1(X)\)... Questa è una conseguenza della disuguaglianza di Cauchy-Schwarz: infatti si ha:
\[
\int_X |f| = \int_X 1\ |f|\leq \| 1\|_2\ \| f\|_2= \sqrt{m(X)}\ \| f\|_2 \; ,
\]
quindi se \(f\in L^2(X)\) allora \(f\in L^1(X)\).
grazie per la delucidazione e per la tua attenzione.
Una cosa fondamentale che non ho capito è stato il tuo passaggio nella disuguaglianza di Cauchy-Schwarz; se non sbaglio con le doppie barre verticali intendi il modulo, ma non ho compreso il pedice nè il passaggio successivo. Il risultato finale è chiaro, però i passaggi intermedi no
Una cosa fondamentale che non ho capito è stato il tuo passaggio nella disuguaglianza di Cauchy-Schwarz; se non sbaglio con le doppie barre verticali intendi il modulo, ma non ho compreso il pedice nè il passaggio successivo. Il risultato finale è chiaro, però i passaggi intermedi no
Cerco di spiegarmi : il pedice nelle due norme sono dovute al fatto che stai esplicitando che stiamo in RxR? Ed inoltre, come mai la norma di 1 diventa m(X) sotto radice? E poi. nella disequazione, che fine fa l'integrale? Mica era proprio cosi la disuguaglianza...?
up!
"fabiostyle":
Cerco di spiegarmi : il pedice nelle due norme sono dovute al fatto che stai esplicitando che stiamo in RxR?
Ma no... Mica siamo in \(\mathbb{R}^2\).
I pedici denotano semplicemente gli esponenti degli \(L^p\) nei quali stiamo calcolando la norma.
Ad ogni modo, riformulo tutto il ragionamento con dei simboli un po' meno sintetici..
"gugo82":
Tuttavia, se l'insieme \(X\) ha misura finita, allora \(L^2(X)\subseteq L^1(X)\)... Questa è una conseguenza della disuguaglianza di Cauchy-Schwarz: infatti si ha:
\[
\int_X |f| = \int_X 1\ |f|\leq \| 1\|_2\ \| f\|_2= \sqrt{m(X)}\ \| f\|_2 \; ,
\]
quindi se \(f\in L^2(X)\) allora \(f\in L^1(X)\).
La disuguaglianza di C-S dice che, se due funzioni misurabili \(u,v\) sono in \(L^2(X)\) allora il loro prodotto è in \(L^1(X)\) e che risulta:
\[
\int_X |u\, v|\, \text{d} m =: \| u\, v\|_{L^1}\leq \| u\|_{L^2}\, \| v\|_{L^2} := \left( \int_X u^2\, \text{d} m\right)^{1/2}\, \left( \int_X v^2\, \text{d} m\right)^{1/2}\; .
\]
Ora, supponiamo che \(X\) abbia misura finita, i.e. che \(m(X)<\infty\). In tal caso la funzione costante \(\mathbf{1}:X\ni x\mapsto 1\in \mathbb{R}\) è in \(L^p(X)\) per ogni \(p\in ]0,\infty]\) e risulta:
\[
\|\mathbf{1}\|_{L^p} := \left( \int_X |1|^p\, \text{d} m\right)^{1/p} = \left( \int_X \text{d} m\right)^{1/p} = m^{1/p}(X) \quad \text{e} \quad \| \mathbf{1}\|_{L^\infty} =1\; .
\]
Ma allora, scelta una qualsiasi \(f\in L^2(X)\), usando C-S con \(u=\mathbf{1}\) e \(v=f\), si trova:
\[
\|f\|_{L^1} = \|\mathbf{1}\, f\|_{L^1}\stackrel{\text{C-S}}{\leq} \| \mathbf{1}\|_{L^2}\, \|f\|_{L^2} = \sqrt{m(X)}\, \|f\|_{L^2} <\infty
\]
quindi \(f\in L^1(X)\).
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo