Funzioni a quadrato sommabile

[feldspato1]

In questi mesi sto studiando i primi elementi , gli elementi base, della Meccanica Quantistica ; ho studiato che a descrivere e a rappresentare uno stato quantico è la funzione d'onda il cui modulo quadro ha il significato di densità di probabilità ; a tal proposito è necessario che la funzione d'onda sia sempre una funzione a quadrato sommabile.

Approfondendo l'argomento ho visto che lo spazio delle funzioni a quadrato sommabile definisce uno spazio lineare completo , cioè ogni funzione può essere espressa come serie di funzioni a quadrato sommabili ; con queste proprietà matematiche ero entrato in contatto studiando lo sviluppo in serie di autofunzioni.

Mi sono chiesto : esistono delle condizioni che permettano di stabilire se una arbitraria funzione è , su un determinato intervallo ,a quadrato sommabile ?

[Rigel1]

"feldspato":Mi sono chiesto : esistono delle condizioni che permettano di stabilire se una arbitraria funzione è , su un determinato intervallo ,a quadrato sommabile?

Ne calcoli il modulo al quadrato e vedi se è integrabile
A parte le battute (anche se quella sopra non lo è), se hai ad esempio una funzione continua che decresce abbastanza rapidamente all'infinito, allora sarà anche a quadrato sommabile. Pensa alle condizioni di integrabilità (o di convergenza degli integrali generalizzati) che dovresti avere già visto per le funzioni di variabile reale.

[Marcos871]

Una classe di funzioni che è sicuramente quadrato sommabile (in generale p-sommabile) sono le $C^\infty$ a supporto compatto. E se l'insieme su cui operi è aperto, tale classe risulta anche densa.