Funzioni a decrescenza rapida e polinomi
Ciao a tutti, ho un altro dubbio sulle funzioni di S(R). Se ho
$f(x) \in S$ e $P(x)$ è un polinomio, posso dire che $f(x)P(x)=h(x) \in S$?
Sicuramente ho ancora una funzione $C^{\infty}$ ma vale ancora che
$\forall p,q $ $x^p D^{(q)}{h(x)}< c_{p,q}$?
Grazie a tutti!!
$f(x) \in S$ e $P(x)$ è un polinomio, posso dire che $f(x)P(x)=h(x) \in S$?
Sicuramente ho ancora una funzione $C^{\infty}$ ma vale ancora che
$\forall p,q $ $x^p D^{(q)}{h(x)}< c_{p,q}$?
Grazie a tutti!!
Risposte
Zììì, certo 
. Lo dimostri facilmente scrivendo $P(x)$ in forma generica, usando la formula di Leibniz quando derivi (vedi qui) e poi usando la diseguaglianza triangolare sul valore assoluto e l'ipotesi che $f$ sia a decrescenza rapida. Ciò che accade in soldoni è che le derivate di $P$ vanno semplicemente ad "aggiungersi" al tuo polinomio $x^p$ in testa a tutto... e col fatto che $f$ è a decrescenza rapida, la cosa non la disturba affatto 
.
Paola
. Lo dimostri facilmente scrivendo $P(x)$ in forma generica, usando la formula di Leibniz quando derivi (vedi qui) e poi usando la diseguaglianza triangolare sul valore assoluto e l'ipotesi che $f$ sia a decrescenza rapida. Ciò che accade in soldoni è che le derivate di $P$ vanno semplicemente ad "aggiungersi" al tuo polinomio $x^p$ in testa a tutto... e col fatto che $f$ è a decrescenza rapida, la cosa non la disturba affatto .Paola
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo