Funzioni a decrescenza rapida
Se ho una funzione sommabile, continua e che si annulla agli estremi e la derivata fino all'ordine $k$ ha le stesse proprietà allora posso calcolare la trasformata di Fourier delle derivate con questa formula:
$(\mathcal{F}f^{k})(\xi)=(i\xi^{k})(\mathcal{F}f)(\xi)$
In più si sa che la trasformata di Fourier di una funzione sommabile è limitata e tende a zero all'infinito (in $\xi$) quindi lo stesso vale anche per il termine di destra dell'uguaglianza. Leggo che: in particolare $(\mathcal{F}f)(\xi)$ deve tendere a zero più velocemente di $1 \/ \xi^{k}$. Formalmente come posso esprimere la cosa?
Ed ancora, maggiore è la regolarità della funzione più velocemente la funzione tende a zero. Nel senso che se ammette derivata $k$ con le ipotesi di regolarità precedenti allora anche $(i\xi^{k})(\mathcal{F}f)(\xi)$ deve tendere a zero, (e tornando al punto di prima:) ed in particolare $(\mathcal{F}f)(\xi)$ deve tendere a zero più velocemente di $1 \/ \xi^{k}$?
Segue la definizione: ... lo spazio delle funzioni a decrescenza rapida è costituito dalle funzioni $\varphi \in C^{\infty}(R^n)$ (e quindi se appartengono a questa classe, collegandomi a prima significa che tendono a zero più velocemente di qualsiasi potenza) tali che per ogni multiindice $\alpha$ e $\beta$ vale
sup$_[x\in R^n] |x^\alpha D^\beta \varphi (x)|<\infty$
Ma anche nel solo caso di funzione ad una variabile con indici ad una dimensione, come si collega l'ultima formula al ragionamento di prima?
$(\mathcal{F}f^{k})(\xi)=(i\xi^{k})(\mathcal{F}f)(\xi)$
In più si sa che la trasformata di Fourier di una funzione sommabile è limitata e tende a zero all'infinito (in $\xi$) quindi lo stesso vale anche per il termine di destra dell'uguaglianza. Leggo che: in particolare $(\mathcal{F}f)(\xi)$ deve tendere a zero più velocemente di $1 \/ \xi^{k}$. Formalmente come posso esprimere la cosa?
Ed ancora, maggiore è la regolarità della funzione più velocemente la funzione tende a zero. Nel senso che se ammette derivata $k$ con le ipotesi di regolarità precedenti allora anche $(i\xi^{k})(\mathcal{F}f)(\xi)$ deve tendere a zero, (e tornando al punto di prima:) ed in particolare $(\mathcal{F}f)(\xi)$ deve tendere a zero più velocemente di $1 \/ \xi^{k}$?
Segue la definizione: ... lo spazio delle funzioni a decrescenza rapida è costituito dalle funzioni $\varphi \in C^{\infty}(R^n)$ (e quindi se appartengono a questa classe, collegandomi a prima significa che tendono a zero più velocemente di qualsiasi potenza) tali che per ogni multiindice $\alpha$ e $\beta$ vale
sup$_[x\in R^n] |x^\alpha D^\beta \varphi (x)|<\infty$
Ma anche nel solo caso di funzione ad una variabile con indici ad una dimensione, come si collega l'ultima formula al ragionamento di prima?
Risposte
Quello spazio è fatto apposta affinché abbia tutta la regolarità possibile e tutta la rapidità di decadimento possibile. Siccome, come noti, la trasformata di Fourier scambia regolarità e rapidità di decadimento, la speranza è che la trasformata di Fourier di una funzione in quella classe resti in quella classe. E infatti è proprio così: anzi, risulta che la trasformata di Fourier è un isomorfismo di quella classe in sé.
Ma l'ultima forma sull'estremo superiore come si collega alle altre?
Quello è un piccolo trucco. Prendi una sola variabile, per semplicità: se
\[\sup_{\mathbb{R}} \lvert x f(x) \rvert < \infty\]
allora necessariamente \(\lim_{\lvert x \rvert \to \infty}f(x)=0\). Difatti, se per assurdo ciò non fosse vero, allora
\[\exists \varepsilon > 0\ \text{t.c.}\ \forall M >0,\ \exists \lvert x(M) \rvert > M\ \text{t.c.}\ \lvert f(x(M))\rvert >\varepsilon\]
e pertanto \(\lvert x(M)f(x(M)) \rvert > M\varepsilon\). Ma \(M\) è arbitrario ed \(\varepsilon\) fissato, quindi il membro destro di tale disuguaglianza può diventare arbitrariamente grande, il che contraddice l'ipotesi di limitatezza.
Applica questo discorso a tutti i prodotti \(x^k D^h f(x)\) e ottieni che tutti quanti decadono a zero all'infinito. Inoltre decadono così rapidamente da essere sommabili.
\[\sup_{\mathbb{R}} \lvert x f(x) \rvert < \infty\]
allora necessariamente \(\lim_{\lvert x \rvert \to \infty}f(x)=0\). Difatti, se per assurdo ciò non fosse vero, allora
\[\exists \varepsilon > 0\ \text{t.c.}\ \forall M >0,\ \exists \lvert x(M) \rvert > M\ \text{t.c.}\ \lvert f(x(M))\rvert >\varepsilon\]
e pertanto \(\lvert x(M)f(x(M)) \rvert > M\varepsilon\). Ma \(M\) è arbitrario ed \(\varepsilon\) fissato, quindi il membro destro di tale disuguaglianza può diventare arbitrariamente grande, il che contraddice l'ipotesi di limitatezza.
Applica questo discorso a tutti i prodotti \(x^k D^h f(x)\) e ottieni che tutti quanti decadono a zero all'infinito. Inoltre decadono così rapidamente da essere sommabili.
Ok grazie.
Se non sbaglio mi sembra di ricordare che la trasformata di Fourier è un isomorfismo dallo spazio di Schwartz in sé.
Certo. Lo dicevamo qualche post più su. Non solo è un isomorfismo algebrico, ma è anche continua con l'inversa continua se sullo spazio di Schwartz si introduce una particolare topologia (che lo rende spazio di Fréchet).
"dissonance":
Certo. Lo dicevamo qualche post più su. Non solo è un isomorfismo algebrico, ma è anche continua con l'inversa continua se sullo spazio di Schwartz si introduce una particolare topologia (che lo rende spazio di Fréchet).
Voglio capire questo. Nella dimostrazione che ho a disposizione si prende $\varphi \in \mathcal{S}(\mathbb{R}^{n})$ e viene definita $\varphi_{\epsilon}(y)$:=$\varphi(\epsilon y)$. Suppongo $\epsilon \in \mathbb{R}$. Se ne calcola la trasformata di Fourier:
\[
(\mathcal{F\varphi})(\xi)=\frac{1}{(2\pi)^{n / 2}}\int e^{-i \xi \cdot \epsilon y}\varphi(\epsilon y) \mbox{d}(\epsilon y)
\]
Voglio cambiare variabile $y\rightarrow \epsilon y$. Fisicamente quello che mi aspetto è il volume sia scalata di un fattore $\epsilon ^{n}$ (nel senso \int$\rightarrow \epsilon^{-n}$\int) ma non so come fare. Se non ricordo male per un cambio di variabile devo avere un isomorfismo fra due insiemi di coordinate e calcolarne la matrice jacobiana e poi il determinante. Il mio cambiamento di variabile è ad esempio:
$\vec{y}=(x,y) \in \mathbb{R}^{2}$
$\epsilon x \mapsto x$
$\epsilon y \mapsto y$
Come lo scrivo esplicitamente?
Non ho capito, stai veramente dicendo che non sai fare un cambiamento di variabile? 
Credo che tu stia cercando di fare questo calcolo:
\begin{align*}
\mathcal{F}[\varphi_\varepsilon](\xi)&=\frac{1}{(2\pi)^{n/2}}\int e^{-i \xi \cdot x}\, \varphi(\varepsilon x)\, d^n x \\
\{y=\varepsilon x, d^ny=\varepsilon^nd^n x\} &=\frac{1}{(2\pi)^{n/2}\varepsilon^n}\int e^{-i\xi\cdot \frac{y}{\varepsilon}} \varphi(y)\, d^n y \\
&=\frac{1}{\varepsilon^n}\mathcal{F}[\varphi]\left(\frac{y}{\varepsilon}\right).
\end{align*}
Giusto?
Credo che tu stia cercando di fare questo calcolo: \begin{align*}
\mathcal{F}[\varphi_\varepsilon](\xi)&=\frac{1}{(2\pi)^{n/2}}\int e^{-i \xi \cdot x}\, \varphi(\varepsilon x)\, d^n x \\
\{y=\varepsilon x, d^ny=\varepsilon^nd^n x\} &=\frac{1}{(2\pi)^{n/2}\varepsilon^n}\int e^{-i\xi\cdot \frac{y}{\varepsilon}} \varphi(y)\, d^n y \\
&=\frac{1}{\varepsilon^n}\mathcal{F}[\varphi]\left(\frac{y}{\varepsilon}\right).
\end{align*}
Giusto?
Anzi. Era un diffeomorfismo. Si è proprio così. Non riesco a capire il cambiamento di variabile. Io so che devo avere una diffeomorfismo da $\mathbb{R}^{n}\rightarrow \mathbb{R}^{n}$ in questo caso. Vorrei capire tutti i passagi. Facciamo finta di avere $\mathbb{R}^{2}$. E' corretto se dico che il mio integrale iniziale è:
$[\mathcal{F\varphi}](\xi)=\frac{1}{(2\pi)^{n / 2}}\int e^{-i \xi \cdot \epsilon y}\varphi(\epsilon y) \mbox{d}(\epsilon y)$
?
Ora, $y\in \mathbb{R}^{2}$ è un vettore di due componenti che posso scrivere come $y=(y_{1},y_{2})$. Questo moltiplicato per uno scalare $\epsilon$ diventa $\epsilon y=(\epsilon y_{1},\epsilon y_{2})$. Voglio passare da $(\epsilon y_{1},\epsilon y_{2}) \rightarrow (y_{1},y_{2})$. Come faccio a scriverlo in forma esplicita? $(\epsilon y_{1},\epsilon y_{2}) \rightarrow c=(a,b)$ ?
$x=a \/ \epsilon$
$y=b \/ \epsilon$
$\mbox{J}=[(\frac{\partial x}{\partial a},\frac{\partial x}{\partial b}),(\frac{\partial y}{\partial a},\frac{\partial y}{\partial b})]=[(\frac{1}{\epsilon},0),(0,\frac{1}{\epsilon})]$
$|\mbox{J}|=\frac{1}{\epsilon^{2}}$
$[\mathcal{F\varphi_{\epsilon}(y)}](\xi)=[\mathcal{F\varphi(\epsilon y)}](\xi)=\frac{1}{(2\pi)^{n / 2}}\frac{1}{\epsilon^{2}}\int e^{-i \xi \cdot c}\varphi(c) \mbox{d}c=frac{1}{\epsilon^{2}}[\mathcal{F\varphi(c)}](\xi)=frac{1}{\epsilon^{2}}[\mathcal{F\varphi_{\epsilon}(\frac{c}{\epsilon})}](\xi)$
$\Rightarrow$
$[\mathcal{F\varphi_{\epsilon}(y)}](\xi)=frac{1}{\epsilon^{2}}[\mathcal{F\varphi_{\epsilon}(\frac{c}{\epsilon})}](\xi)$
Non mi è chiaro neppure:
-la forma del primo sviluppo che hai scritto. Perché la $\epsilon$ compare solamente dentro $\varphi$?
-la disinvoltura con la quale cambi variabile
$[\mathcal{F\varphi}](\xi)=\frac{1}{(2\pi)^{n / 2}}\int e^{-i \xi \cdot \epsilon y}\varphi(\epsilon y) \mbox{d}(\epsilon y)$
?
Ora, $y\in \mathbb{R}^{2}$ è un vettore di due componenti che posso scrivere come $y=(y_{1},y_{2})$. Questo moltiplicato per uno scalare $\epsilon$ diventa $\epsilon y=(\epsilon y_{1},\epsilon y_{2})$. Voglio passare da $(\epsilon y_{1},\epsilon y_{2}) \rightarrow (y_{1},y_{2})$. Come faccio a scriverlo in forma esplicita? $(\epsilon y_{1},\epsilon y_{2}) \rightarrow c=(a,b)$ ?
$x=a \/ \epsilon$
$y=b \/ \epsilon$
$\mbox{J}=[(\frac{\partial x}{\partial a},\frac{\partial x}{\partial b}),(\frac{\partial y}{\partial a},\frac{\partial y}{\partial b})]=[(\frac{1}{\epsilon},0),(0,\frac{1}{\epsilon})]$
$|\mbox{J}|=\frac{1}{\epsilon^{2}}$
$[\mathcal{F\varphi_{\epsilon}(y)}](\xi)=[\mathcal{F\varphi(\epsilon y)}](\xi)=\frac{1}{(2\pi)^{n / 2}}\frac{1}{\epsilon^{2}}\int e^{-i \xi \cdot c}\varphi(c) \mbox{d}c=frac{1}{\epsilon^{2}}[\mathcal{F\varphi(c)}](\xi)=frac{1}{\epsilon^{2}}[\mathcal{F\varphi_{\epsilon}(\frac{c}{\epsilon})}](\xi)$
$\Rightarrow$
$[\mathcal{F\varphi_{\epsilon}(y)}](\xi)=frac{1}{\epsilon^{2}}[\mathcal{F\varphi_{\epsilon}(\frac{c}{\epsilon})}](\xi)$
Non mi è chiaro neppure:
-la forma del primo sviluppo che hai scritto. Perché la $\epsilon$ compare solamente dentro $\varphi$?
-la disinvoltura con la quale cambi variabile
No, guarda, non ci siamo.
Già l'integrale iniziale è sbagliato. Devi calcolare \(\mathcal{F}[\varphi_\varepsilon]\), giusto? E allora comincia da qui:
\[\mathcal{F}[\varphi_\varepsilon](\xi)=\int e^{-i x\cdot \xi} \varphi_\varepsilon(x)\, d^n x, \]
poi sostituisci l'espressione esplicita di \(\varphi_\varepsilon\) e continua come nel mio post precedente.
Per quanto riguarda il cambiamento di variabili, qui abbiamo sicuramente il più semplice di tutti. Stai calcolando un integrale di questo tipo:
\[\int g(\varepsilon x)\, d^n x,\]
allora poni
\[\begin{cases}y_1=\varepsilon x_1 \\ y_2=\varepsilon x_2 \\ \vdots \\ y_n=\varepsilon x_n \end{cases}\]
ovvero in forma matriciale
\[y=\begin{bmatrix} \varepsilon & & \\ & \ddots & \\ && \varepsilon \end{bmatrix} x .\]
Da qui si vede subito che lo Jacobiano della trasformazione è
\[\frac{\partial (y_1 \ldots y_n)}{\partial(x_1 \ldots x_n)}=\varepsilon^n.\]
Per questo voi fisici usate scrivere \(d^nx, d^ny\): così diventa facile ricordarsi come cambiano per riscalamenti, ovvero cambiamenti di variabile di questo tipo qui.
Già l'integrale iniziale è sbagliato. Devi calcolare \(\mathcal{F}[\varphi_\varepsilon]\), giusto? E allora comincia da qui:
\[\mathcal{F}[\varphi_\varepsilon](\xi)=\int e^{-i x\cdot \xi} \varphi_\varepsilon(x)\, d^n x, \]
poi sostituisci l'espressione esplicita di \(\varphi_\varepsilon\) e continua come nel mio post precedente.
Per quanto riguarda il cambiamento di variabili, qui abbiamo sicuramente il più semplice di tutti. Stai calcolando un integrale di questo tipo:
\[\int g(\varepsilon x)\, d^n x,\]
allora poni
\[\begin{cases}y_1=\varepsilon x_1 \\ y_2=\varepsilon x_2 \\ \vdots \\ y_n=\varepsilon x_n \end{cases}\]
ovvero in forma matriciale
\[y=\begin{bmatrix} \varepsilon & & \\ & \ddots & \\ && \varepsilon \end{bmatrix} x .\]
Da qui si vede subito che lo Jacobiano della trasformazione è
\[\frac{\partial (y_1 \ldots y_n)}{\partial(x_1 \ldots x_n)}=\varepsilon^n.\]
Per questo voi fisici usate scrivere \(d^nx, d^ny\): così diventa facile ricordarsi come cambiano per riscalamenti, ovvero cambiamenti di variabile di questo tipo qui.
Che differenza c'è fra l'applicare la trasformata di Fuorier a $\varphi_{\epsilon}(y)$ o a $\varphi(\epsilon y)$? In fondo la si applica alla stessa funzione. Non riesco a giustificare perché vengano due cose differenti se $\varphi_{\epsilon}(y)=\varphi(\epsilon y)$ per definizione. L'errore del cambiamento di variabili invece l'ho capito 
Ora:
$1.$ $[\mathcal{F}\varphi(\epsilon y)](\xi)=\frac{1}{(2\pi)^{n / 2}}\int e^{-i \xi \cdot \epsilon y}\varphi(\epsilon y) \mbox{d}(\epsilon y)$
$2.$ $[\mathcal{F}\varphi_{\epsilon}(y)](\xi)=\frac{1}{(2\pi)^{n / 2}}\int e^{-i \xi \cdot y}\varphi_{\epsilon}(y) \mbox{d}y$
Mi sembra barare trasformare $\varphi_{\epsilon}(y)$ e poi riscriverla dentro l'integrale nella sua forma originaria. A patto boh, che la $1.$ non abbia senso o che ci sia un modo per passare dall'una all'altra.
Ora:$1.$ $[\mathcal{F}\varphi(\epsilon y)](\xi)=\frac{1}{(2\pi)^{n / 2}}\int e^{-i \xi \cdot \epsilon y}\varphi(\epsilon y) \mbox{d}(\epsilon y)$
$2.$ $[\mathcal{F}\varphi_{\epsilon}(y)](\xi)=\frac{1}{(2\pi)^{n / 2}}\int e^{-i \xi \cdot y}\varphi_{\epsilon}(y) \mbox{d}y$
Mi sembra barare trasformare $\varphi_{\epsilon}(y)$ e poi riscriverla dentro l'integrale nella sua forma originaria. A patto boh, che la $1.$ non abbia senso o che ci sia un modo per passare dall'una all'altra.
No, non ti fare fregare dalle notazioni approssimative. Si scrive \(\mathcal{F}[\varphi(y)](\xi)\) solo per ricordarsi che \(y\) è la variabile di integrazione e \(\xi\) è la variabile libera, ma è un abuso. La scrittura formalmente corretta è \(\mathcal{F}[\varphi](\xi)\). Quindi se scrivi \(\mathcal{F}[\varphi(\varepsilon y)]\) intendi sempre questo integrale:
\[\int e^{-i y \cdot \xi} \varphi(\varepsilon y)\, dy.\]
\[\int e^{-i y \cdot \xi} \varphi(\varepsilon y)\, dy.\]
Diciamo che si capisce subito applicando la trasformata ad una funzione banale come ad esempio $\varphi(\epsilon x)=\epsilon x$? Ho capito se è così.
Questa è la definizione di trasformata di Fourier. L'ambiguità di cui sopra sta nel fatto che non è propriamente corretto scrivere \(\mathcal{F}[\varphi(\varepsilon y)]\), occorrerebbe prima definire \(\varphi_\varepsilon(y)=\varphi(\varepsilon y)\) e poi scrivere \(\mathcal{F}[\varphi_\varepsilon]\). Ma siccome uno si scoccia, salta questo passaggio. Questo è tutto.
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