Funzioni
Buon giorno forum! 
Studiando sul mio libro di analisi, mi sono imbattuto in un teorema sulle funzioni, che dice:
$f(X nn Y) sube f(X) nn f(Y)$
In cui $f$ è un'applicazione $ArarrB$, e $X sube A, Y sube B$
C'è inoltre scritto che l'uguaglianza vale solo se $f$ è iniettiva. La dimostrazione è lasciata al lettore.
Tuttavia, benché questo teorema è facile da comprendere in maniera intuitiva, e trova riscontro con esempi facili da costruire, non riesco a trovare una buona dimostrazione, né del teorema in sé, né del caso in cui $f$ sia iniettiva.
Se riusciste a darmi qualche dritta, ve ne sarei molto grato!
Grazie mille, attendo aiuti!
Studiando sul mio libro di analisi, mi sono imbattuto in un teorema sulle funzioni, che dice:
$f(X nn Y) sube f(X) nn f(Y)$
In cui $f$ è un'applicazione $ArarrB$, e $X sube A, Y sube B$
C'è inoltre scritto che l'uguaglianza vale solo se $f$ è iniettiva. La dimostrazione è lasciata al lettore.
Tuttavia, benché questo teorema è facile da comprendere in maniera intuitiva, e trova riscontro con esempi facili da costruire, non riesco a trovare una buona dimostrazione, né del teorema in sé, né del caso in cui $f$ sia iniettiva.
Se riusciste a darmi qualche dritta, ve ne sarei molto grato!
Grazie mille, attendo aiuti!
Risposte
Ciao 
Immagino che vuoi dire che sia $X$ che $Y$ sono sottinsiemi di $A$.
La dimostrazione segue il procedimento standard: prendi un elemento in $f(X nn Y)$ e dimostri che sta anche in $f(X) nn f(Y)$.
In altre parole prendi $f(a)$ con $a in X nn Y$, e osservi che naturalmente $f(a) in f(X)$ e $f(a) in f(Y)$, da cui $f(a) in f(X) nn f(Y)$.
Il caso in cui $f$ è iniettiva lo puoi trattare cosi':
- per provare la necessità prendi $x ne y$ in $A$ e scegli $X={x}$, $Y={y}$...
- per provare la sufficienza prendi $f(a) in f(X) nn f(Y)$ e deduci che $a in X nn Y$...
Ti lascio riflettere
Immagino che vuoi dire che sia $X$ che $Y$ sono sottinsiemi di $A$.
La dimostrazione segue il procedimento standard: prendi un elemento in $f(X nn Y)$ e dimostri che sta anche in $f(X) nn f(Y)$.
In altre parole prendi $f(a)$ con $a in X nn Y$, e osservi che naturalmente $f(a) in f(X)$ e $f(a) in f(Y)$, da cui $f(a) in f(X) nn f(Y)$.
Il caso in cui $f$ è iniettiva lo puoi trattare cosi':
- per provare la necessità prendi $x ne y$ in $A$ e scegli $X={x}$, $Y={y}$...
- per provare la sufficienza prendi $f(a) in f(X) nn f(Y)$ e deduci che $a in X nn Y$...
Ti lascio riflettere
sìsì sorry sono tutti e due sottoinsiemi di A, naturalmente.
ok grazie mille mi hai dato il LA, adesso riesco a vedere la strada della dimostrazione.
Grazie martino!
ok grazie mille mi hai dato il LA, adesso riesco a vedere la strada della dimostrazione.
Grazie martino!
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