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G.D.5

17 ott 2007, 11:44

Sia $f: X to Y$ una funzione bijettiva e siano $mathcal{A},mathcal{B}in mathcal{P}(Y)$, ove $mathcal{P}(Y)$ è l'insieme delle parti di $Y$; si dimostrino le seguenti uguaglianze:
$f^(-1)(mathcal{A} cup mathcal{B}) = f^(-1)(mathcal{A}) cup f^(-1)(mathcal{B})$
$f^(-1)(mathcal{A} cap mathcal{B}) = f^(-1)(mathcal{A}) cap f^(-1)(mathcal{B})$
$f^(-1)(Y - mathcal{A}) = X - f^(-1)(mathcal{A})$

Firmato: il Prof. di Analisi

Fatto il preambolo vi chiedo 2 cose:

1) dato che stiamo parlando di una funzione e della sua inversa e si dice $mathcal{A}, mathcal{B} in mathcal{P}(Y)$, se per caso uno andasse a prendere $mathcal{A}={}=emptyset$ sarebbe ancora possibile parlare di $f^(-1)(mathcal{A})$?

2) di seguito vi lascio le mie dimostrazioni (che, detto tra noi, tanto dimostrazioni non mi sembrano); se avete tempo potete dirmi se sono (e dove sono) sbagliate o se vanno bene?

1 dimostrazione di $f^(-1)(mathcal{A} cup mathcal{B}) = f^(-1)(mathcal{A}) cup f^(-1)(mathcal{B})$:

$f^(-1)(mathcal{A}):={x in X : y=f(x) in mathcal{A}}$
$f^(-1)(mathcal{B}):={x in X : y=f(x) in mathcal{B}}$

quoesto implica che $f^(-1)(mathcal{A}) cup f^(-1)(mathcal{B}):={x in X : y=f(x) in mathcal{A} vv y=f(x) in mathcal{B}}$.

Inoltre $f^(-1)(mathcal{A} cup mathcal{B}):={x in X : y=f(x) in (mathcal{A} cup mathcal{B})}={x in X : y=f(x) in mathcal{A} vv y=f(x) in mathcal{B}}$

Si conclude che l'uguaglianza è vera perchè gli insiemi sono definiti allo stesso modo.

2 dimostrazione di $f^(-1)(mathcal{A} cap mathcal{B}) = f^(-1)(mathcal{A}) cap f^(-1)(mathcal{B})$:

$f^(-1)(mathcal{A}):={x in X : y=f(x) in mathcal{A}}$
$f^(-1)(mathcal{B}):={x in X : y=f(x) in mathcal{B}}$

quoesto implica che $f^(-1)(mathcal{A}) cap f^(-1)(mathcal{B}):={x in X : y=f(x) in mathcal{A} ^^ y=f(x) in mathcal{B}}$.

Inoltre $f^(-1)(mathcal{A} cap mathcal{B}):={x in X : y=f(x) in (mathcal{A} cap mathcal{B})}={x in X : y=f(x) in mathcal{A} ^^ y=f(x) in mathcal{B}}$

Si conclude che l'uguaglianza è vera perchè gli insiemi sono definiti allo stesso modo.

3 dimostrazione di $f^(-1)(Y - mathcal{A}) = X - f^(-1)(mathcal{A})$:

$f^(-1)(mathcal{A}):={x in X : y=f(x) in mathcal{A}}$

quoesto implica che $f^(-1)(Y - mathcal{A}):={x in X : y=f(x) notin mathcal{A}}$.

Inoltre $X - f^(-1)(mathcal{A}):={x in X : x notin f^(-1)(mathcal{A})}={x in X : y=f(x) notin mathcal{A}} $

Si conclude che l'uguaglianza è vera perchè gli insiemi sono definiti allo stesso modo.

P.S.: qualora andassero bene (probabile allo $0.01%$), se avete voglia e tempo, potreste suggerire dimostrazioni alternative. Grazie a tutti.

Risposte

laura.todisco

18 ott 2007, 06:49

"WiZaRd":

Vediamo un poco: $x in f^(-1)(A cup B) => f(x) in (A cup B) => f(x) in A vv f(x) in B => x in f^(-1)(A) vv x in f^(-1)(B) => x in (f^-1(A) cup f^(-1)(B))$ e poi al contrario: $x in (f^(-1)(A) cup f^(-1)(B)) => x in f^(-1)(A) vv x in f^(-1)(B) => f(x) in A vv f(x) in B => f(x) in (A cup B) => x in f^(-1)(A cup B)$
E il procedimento dovrebbe essere analogo per le altre due uguaglianze...giusto?

Dovrebbe andare così, semplicemente.
Se non erro, la bijettività occorre solo per la 3).
Prova un po'.

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18 ott 2007, 09:24

"laura.todisco":
Se non erro, la bijettività occorre solo per la 3).

Non capisco dove si usi l'ipotesi di biiettività: dire $x \in f^{-1}(Y-A)$ è come dire che f(x) non appartiene ad A, come dire che x non appartiene a $f^{-1}(A)$, come dire che $x \in X-f^{-1}(A)$. Ho usato solo il fatto che f è una funzione.