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G.D.5

17 ott 2007, 11:44

Sia $f: X to Y$ una funzione bijettiva e siano $mathcal{A},mathcal{B}in mathcal{P}(Y)$, ove $mathcal{P}(Y)$ è l'insieme delle parti di $Y$; si dimostrino le seguenti uguaglianze:
$f^(-1)(mathcal{A} cup mathcal{B}) = f^(-1)(mathcal{A}) cup f^(-1)(mathcal{B})$
$f^(-1)(mathcal{A} cap mathcal{B}) = f^(-1)(mathcal{A}) cap f^(-1)(mathcal{B})$
$f^(-1)(Y - mathcal{A}) = X - f^(-1)(mathcal{A})$

Firmato: il Prof. di Analisi

Fatto il preambolo vi chiedo 2 cose:

1) dato che stiamo parlando di una funzione e della sua inversa e si dice $mathcal{A}, mathcal{B} in mathcal{P}(Y)$, se per caso uno andasse a prendere $mathcal{A}={}=emptyset$ sarebbe ancora possibile parlare di $f^(-1)(mathcal{A})$?

2) di seguito vi lascio le mie dimostrazioni (che, detto tra noi, tanto dimostrazioni non mi sembrano); se avete tempo potete dirmi se sono (e dove sono) sbagliate o se vanno bene?

1 dimostrazione di $f^(-1)(mathcal{A} cup mathcal{B}) = f^(-1)(mathcal{A}) cup f^(-1)(mathcal{B})$:

$f^(-1)(mathcal{A}):={x in X : y=f(x) in mathcal{A}}$
$f^(-1)(mathcal{B}):={x in X : y=f(x) in mathcal{B}}$

quoesto implica che $f^(-1)(mathcal{A}) cup f^(-1)(mathcal{B}):={x in X : y=f(x) in mathcal{A} vv y=f(x) in mathcal{B}}$.

Inoltre $f^(-1)(mathcal{A} cup mathcal{B}):={x in X : y=f(x) in (mathcal{A} cup mathcal{B})}={x in X : y=f(x) in mathcal{A} vv y=f(x) in mathcal{B}}$

Si conclude che l'uguaglianza è vera perchè gli insiemi sono definiti allo stesso modo.

2 dimostrazione di $f^(-1)(mathcal{A} cap mathcal{B}) = f^(-1)(mathcal{A}) cap f^(-1)(mathcal{B})$:

$f^(-1)(mathcal{A}):={x in X : y=f(x) in mathcal{A}}$
$f^(-1)(mathcal{B}):={x in X : y=f(x) in mathcal{B}}$

quoesto implica che $f^(-1)(mathcal{A}) cap f^(-1)(mathcal{B}):={x in X : y=f(x) in mathcal{A} ^^ y=f(x) in mathcal{B}}$.

Inoltre $f^(-1)(mathcal{A} cap mathcal{B}):={x in X : y=f(x) in (mathcal{A} cap mathcal{B})}={x in X : y=f(x) in mathcal{A} ^^ y=f(x) in mathcal{B}}$

Si conclude che l'uguaglianza è vera perchè gli insiemi sono definiti allo stesso modo.

3 dimostrazione di $f^(-1)(Y - mathcal{A}) = X - f^(-1)(mathcal{A})$:

$f^(-1)(mathcal{A}):={x in X : y=f(x) in mathcal{A}}$

quoesto implica che $f^(-1)(Y - mathcal{A}):={x in X : y=f(x) notin mathcal{A}}$.

Inoltre $X - f^(-1)(mathcal{A}):={x in X : x notin f^(-1)(mathcal{A})}={x in X : y=f(x) notin mathcal{A}} $

Si conclude che l'uguaglianza è vera perchè gli insiemi sono definiti allo stesso modo.

P.S.: qualora andassero bene (probabile allo $0.01%$), se avete voglia e tempo, potreste suggerire dimostrazioni alternative. Grazie a tutti.

Risposte

laura.todisco

18 ott 2007, 06:49

"WiZaRd":

Vediamo un poco: $x in f^(-1)(A cup B) => f(x) in (A cup B) => f(x) in A vv f(x) in B => x in f^(-1)(A) vv x in f^(-1)(B) => x in (f^-1(A) cup f^(-1)(B))$ e poi al contrario: $x in (f^(-1)(A) cup f^(-1)(B)) => x in f^(-1)(A) vv x in f^(-1)(B) => f(x) in A vv f(x) in B => f(x) in (A cup B) => x in f^(-1)(A cup B)$
E il procedimento dovrebbe essere analogo per le altre due uguaglianze...giusto?

Dovrebbe andare così, semplicemente.
Se non erro, la bijettività occorre solo per la 3).
Prova un po'.

Studente Anonimo

18 ott 2007, 09:24

"laura.todisco":
Se non erro, la bijettività occorre solo per la 3).

Non capisco dove si usi l'ipotesi di biiettività: dire $x \in f^{-1}(Y-A)$ è come dire che f(x) non appartiene ad A, come dire che x non appartiene a $f^{-1}(A)$, come dire che $x \in X-f^{-1}(A)$. Ho usato solo il fatto che f è una funzione.