Funzioni
Sia $f: X to Y$ una funzione bijettiva e siano $mathcal{A},mathcal{B}in mathcal{P}(Y)$, ove $mathcal{P}(Y)$ è l'insieme delle parti di $Y$; si dimostrino le seguenti uguaglianze:
$f^(-1)(mathcal{A} cup mathcal{B}) = f^(-1)(mathcal{A}) cup f^(-1)(mathcal{B})$
$f^(-1)(mathcal{A} cap mathcal{B}) = f^(-1)(mathcal{A}) cap f^(-1)(mathcal{B})$
$f^(-1)(Y - mathcal{A}) = X - f^(-1)(mathcal{A})$
Firmato: il Prof. di Analisi
Fatto il preambolo vi chiedo 2 cose:
1) dato che stiamo parlando di una funzione e della sua inversa e si dice $mathcal{A}, mathcal{B} in mathcal{P}(Y)$, se per caso uno andasse a prendere $mathcal{A}={}=emptyset$ sarebbe ancora possibile parlare di $f^(-1)(mathcal{A})$?
2) di seguito vi lascio le mie dimostrazioni (che, detto tra noi, tanto dimostrazioni non mi sembrano); se avete tempo potete dirmi se sono (e dove sono) sbagliate o se vanno bene?
1 dimostrazione di $f^(-1)(mathcal{A} cup mathcal{B}) = f^(-1)(mathcal{A}) cup f^(-1)(mathcal{B})$:
$f^(-1)(mathcal{A}):={x in X : y=f(x) in mathcal{A}}$
$f^(-1)(mathcal{B}):={x in X : y=f(x) in mathcal{B}}$
quoesto implica che $f^(-1)(mathcal{A}) cup f^(-1)(mathcal{B}):={x in X : y=f(x) in mathcal{A} vv y=f(x) in mathcal{B}}$.
Inoltre $f^(-1)(mathcal{A} cup mathcal{B}):={x in X : y=f(x) in (mathcal{A} cup mathcal{B})}={x in X : y=f(x) in mathcal{A} vv y=f(x) in mathcal{B}}$
Si conclude che l'uguaglianza è vera perchè gli insiemi sono definiti allo stesso modo.
2 dimostrazione di $f^(-1)(mathcal{A} cap mathcal{B}) = f^(-1)(mathcal{A}) cap f^(-1)(mathcal{B})$:
$f^(-1)(mathcal{A}):={x in X : y=f(x) in mathcal{A}}$
$f^(-1)(mathcal{B}):={x in X : y=f(x) in mathcal{B}}$
quoesto implica che $f^(-1)(mathcal{A}) cap f^(-1)(mathcal{B}):={x in X : y=f(x) in mathcal{A} ^^ y=f(x) in mathcal{B}}$.
Inoltre $f^(-1)(mathcal{A} cap mathcal{B}):={x in X : y=f(x) in (mathcal{A} cap mathcal{B})}={x in X : y=f(x) in mathcal{A} ^^ y=f(x) in mathcal{B}}$
Si conclude che l'uguaglianza è vera perchè gli insiemi sono definiti allo stesso modo.
3 dimostrazione di $f^(-1)(Y - mathcal{A}) = X - f^(-1)(mathcal{A})$:
$f^(-1)(mathcal{A}):={x in X : y=f(x) in mathcal{A}}$
quoesto implica che $f^(-1)(Y - mathcal{A}):={x in X : y=f(x) notin mathcal{A}}$.
Inoltre $X - f^(-1)(mathcal{A}):={x in X : x notin f^(-1)(mathcal{A})}={x in X : y=f(x) notin mathcal{A}} $
Si conclude che l'uguaglianza è vera perchè gli insiemi sono definiti allo stesso modo.
P.S.: qualora andassero bene (probabile allo $0.01%$), se avete voglia e tempo, potreste suggerire dimostrazioni alternative. Grazie a tutti.
Risposte
Io vedo un po' di punti di domanda....
"Luca.Lussardi":
Io vedo un po' di punti di domanda....
Non mi dire ninte, ma non ti ho capito.
Non leggo le tue formule correttamente, vedo un sacco di punti interrogativi, non so se è un problema mio oppure hai editato male la matematica.
Non saprei...io le vedo correttamente.
Usando Windows XP con sp2 + Mozilla Firefox 2.0.0.7. non ho problemi di visualizzazione...
Pazienza, per me è quasi illeggibile.
Forse devi installare le font di Mathematica da questo sito http://web.mit.edu/atticus/www/mathml/m ... .0-fc1.msi o, al massimo, aggiornare Firefox (se usi questo browser).
E' tutto aggiornato, sì uso Firefox ma su MAC e non su Windows. E' la prima volta che non vedo comunque dei caratteri, di solito non ho problemi a vedere tutto.
Nessuno ha idee per rispondere alle mie due domande?
Ciao,
1) puoi certamente dire che $f$ manda insieme vuoto in insieme vuoto, quindi $f^{-1}(\emptyset)=\emptyset$.
2) Sembrerebbe che tu non abbia sfruttato il fatto che $f$ è biiettiva, in realtà lo hai fatto ma forse inconsciamente: per esempio nel 3 punto, assumi senza dimostrare che $f(f^{-1}(A))=A$ il che è vero solo perchè $f$ è una biiezione.
Non è che ci sono molte altre strade per dimostrare queste cose
saluti
1) puoi certamente dire che $f$ manda insieme vuoto in insieme vuoto, quindi $f^{-1}(\emptyset)=\emptyset$.
2) Sembrerebbe che tu non abbia sfruttato il fatto che $f$ è biiettiva, in realtà lo hai fatto ma forse inconsciamente: per esempio nel 3 punto, assumi senza dimostrare che $f(f^{-1}(A))=A$ il che è vero solo perchè $f$ è una biiezione.
Non è che ci sono molte altre strade per dimostrare queste cose
saluti
"Ravok":
Ciao,
1) puoi certamente dire che $f$ manda insieme vuoto in insieme vuoto, quindi $f^{-1}(\emptyset)=\emptyset$.
Grazie per le risposte. Solo due cosa non capisco: come si fa a definire una funzione che ha come dominio l'insieme vuoto? Voglio dire, se prendo, per esempio, $f : emptyset to {1,2,3}$, per quello che so io delle funzioni, dovrei tirare fuori una legge che ad ogni elemento del dominio ne associa uno e uno solo del codominio, ma se il dominio non ha elementi come la costruisco questa legge? Al contrario, se ho $f : {1,2,3} to emptyset$ come la tiro fuori una legge che ad $1$ associ uno e un solo elemento se non ho dove prenderlo?
Grazie.
"WiZaRd":Sia $f: X to Y$ una funzione bijettiva e siano $mathcal{A},mathcal{B}in mathcal{P}(Y)$, ove $mathcal{P}(Y)$ è l'insieme delle parti di $Y$; si dimostrino le seguenti uguaglianze:
$f^(-1)(mathcal{A} cup mathcal{B}) = f^(-1)(mathcal{A}) cup f^(-1)(mathcal{B})$
$f^(-1)(mathcal{A} cap mathcal{B}) = f^(-1)(mathcal{A}) cap f^(-1)(mathcal{B})$
$f^(-1)(Y - mathcal{A}) = X - f^(-1)(mathcal{A})$
Se non sto prendendo qualche abbaglio, l'ipotesi che f sia biiettiva è superflua. Cioè, le tre proprietà elencate valgono per ogni funzione f.
Beh...allora il prof. è stato buono e ci ha semplificato la vita....
mi chirite però come sia possibile costruire una funzione a dominio vuoto...
io sapevo che le funzioni si definissero solo per dominio e codominio non vuoti.
ma Ravok mi ha fatto riflettere; un poco ci ho pensato sopra e mi è venuto questo in mente:
1) $f: emptyset to emptyset$ è una funzione
2) $f: emptyset to A$ con $A!=emptyset$ è una funzione
3) $f: A to emptyset$ con $A!=emptyset$ non è una funzione
ho capito qualche cosina o ho sparato na gran min****ta?
mi chirite però come sia possibile costruire una funzione a dominio vuoto...
io sapevo che le funzioni si definissero solo per dominio e codominio non vuoti.
ma Ravok mi ha fatto riflettere; un poco ci ho pensato sopra e mi è venuto questo in mente:
1) $f: emptyset to emptyset$ è una funzione
2) $f: emptyset to A$ con $A!=emptyset$ è una funzione
3) $f: A to emptyset$ con $A!=emptyset$ non è una funzione
ho capito qualche cosina o ho sparato na gran min****ta?
"WiZaRd":
ma Ravok mi ha fatto riflettere; un poco ci ho pensato sopra e mi è venuto questo in mente:
1) $f: emptyset to emptyset$ è una funzione
2) $f: emptyset to A$ con $A!=emptyset$ è una funzione
3) $f: A to emptyset$ con $A!=emptyset$ non è una funzione
Esattamente.
Già che ci sei potresti dire di che funzioni si tratta (parlo dei punti 1) e 2)).
Martino,
Se non fosse biiettiva non avrebbe senso parlare di inversa...
Se non fosse biiettiva non avrebbe senso parlare di inversa...
"Ravok":
Martino,
Se non fosse biiettiva non avrebbe senso parlare di inversa...
Ma con $f^{-1}(A)$ si intende la controimmagine di $A \subseteq Y$, che è definita per ogni funzione $f:X \to Y$ come $f^{-1}(A)=\{x \in X\ |\ f(x) \in A\}$.
Mi sembrano buone ma se ti va ne parliamo lunedì se ci vediamo...
"WiZaRd":
$f^(-1)(mathcal{A} cup mathcal{B}) = f^(-1)(mathcal{A}) cup f^(-1)(mathcal{B})$
$f^(-1)(mathcal{A} cap mathcal{B}) = f^(-1)(mathcal{A}) cap f^(-1)(mathcal{B})$
$f^(-1)(Y - mathcal{A}) = X - f^(-1)(mathcal{A})$
Per dimostrare questa uguaglianza,
$f^(-1)(A cup B) = f^(-1)(A) cup f^(-1)(B)$
incomincia a dimostrare che il primo insieme è incluso nel secondo e poi viceversa.
Prendi:
$x in f^(-1)(A cup B) ->f(x) in A cup B -> ...$ continua.
"Martino":
[quote="WiZaRd"]ma Ravok mi ha fatto riflettere; un poco ci ho pensato sopra e mi è venuto questo in mente:
1) $f: emptyset to emptyset$ è una funzione
2) $f: emptyset to A$ con $A!=emptyset$ è una funzione
3) $f: A to emptyset$ con $A!=emptyset$ non è una funzione
Esattamente.
Già che ci sei potresti dire di che funzioni si tratta (parlo dei punti 1) e 2)).[/quote]
Mi fa piacere avere indovinato almeno questo
Innanzitutto ti spiego brevemente perchè ho pensato a questo: su wikipedia si dice che la condizione per la quale una relazione sia una funzione è che $forall x in X \ \ exists! y in Y : y=f(x)$ ove $f$ è la funzione, $X$ ne è il dominio e $Y$ il codominio; a questo punto ho interpretato la condizione $forall x in X \ \ exists! y in Y : y=f(x)$ come un enunciato del tipo $x in X => exists! y in Y : y=f(x)$ che va mostrato valido per tutti gli $x$ di $X$; a questo punto se $X=emptyset$ l'enunciato è vero in ogni caso, anche se $Y=emptyset$, da cui i punti 1) e 2), mentre se $X=emptyset!=Y$ l'enunciato è falso e quindi il punto 3).
E' buono questo ragionamento che ho usato o ho indovinato ma senza cognizione di causa?
Quanto a dire di che funzioni si tratti, non sono convinto, ma dire l'insieme vuoto per il punto 1) e per il 2).
"zorn":
Mi sembrano buone ma se ti va ne parliamo lunedì se ci vediamo...
Certo...se ti va di sopportarmi anche a pranzo te ne sarò grato
"laura.todisco":
[quote="WiZaRd"]
$f^(-1)(mathcal{A} cup mathcal{B}) = f^(-1)(mathcal{A}) cup f^(-1)(mathcal{B})$
$f^(-1)(mathcal{A} cap mathcal{B}) = f^(-1)(mathcal{A}) cap f^(-1)(mathcal{B})$
$f^(-1)(Y - mathcal{A}) = X - f^(-1)(mathcal{A})$
Per dimostrare questa uguaglianza,
$f^(-1)(A cup B) = f^(-1)(A) cup f^(-1)(B)$
incomincia a dimostrare che il primo insieme è incluso nel secondo e poi viceversa.
Prendi:
$x in f^(-1)(A cup B) ->f(x) in A cup B -> ...$ continua.[/quote]
Vediamo un poco: $x in f^(-1)(A cup B) => f(x) in (A cup B) => f(x) in A vv f(x) in B => x in f^(-1)(A) vv x in f^(-1)(B) => x in (f^-1(A) cup f^(-1)(B))$ e poi al contrario: $x in (f^(-1)(A) cup f^(-1)(B)) => x in f^(-1)(A) vv x in f^(-1)(B) => f(x) in A vv f(x) in B => f(x) in (A cup B) => x in f^(-1)(A cup B)$
E il procedimento dovrebbe essere analogo per le altre due uguaglianze...giusto?
"WiZaRd":
mentre se $X=emptyset!=Y$ l'enunciato è falso e quindi il punto 3).
Credo che qui ti sia sbagliato a digitare: se $X != emptyset = Y$ l'enunciato è falso.
E' buono questo ragionamento che ho usato o ho indovinato ma senza cognizione di causa?
E' buono.
Quanto a dire di che funzioni si tratti, non sono convinto, ma dire l'insieme vuoto per il punto 1) e per il 2).
Eccellente!
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