Funzioni: 3° teorema di confronto, dimostrarlo.

[Darèios89]

Mi manca la dimostrazione del terzo teorema di confronto per le funzioni, che dice che:

Se

f(x)<=g(x) e limite di g(x)=[tex]-\infty[/tex] anche il limite di f(x) vale [tex]-\infty[/tex].

Ho provato a dimostrarlo io e volevo avere un vostro parere, allora:

Per ipotesi:

[tex]\lim_{x\to x0}g(x)=-\infty[/tex]

[tex]\forall k>0, \exists \delta >0:\forall x\in I\delta (x0):x\neq x0 \Rightarrow g(x)<-k[/tex]

Th:

[tex]\lim_{x\to x0}f(x)=-\infty[/tex]

[tex]\forall k>0, \exists \delta2 >0:\forall x2\in I\delta2 (x02):x2\neq x02 \Rightarrow f(x)<-k[/tex]

Scusate, tutto quello che trovate come delta2 o x02 l'ho messo perchè non sapevo indicare il segnato che si usa in matematica, consideratelo come x0 segnato, x segnato eccetera.

Poichè:

[tex]f(x)\leq g(x)[/tex] Per ogni x appartenente ad A con [tex]x\neq x0[/tex]

Per ipotesi si ha:


[tex]f(x)\leq g(x)
La prima disuguaglianza vale per delta segnato>0 mentre la seconda per delta>0

Posto delta segnato= delta si ha la tesi.

Come vi sembra?

[Luca.Lussardi]

L'idea ovviamente è giusta, ma non capisco perchè hai messo $x2$ e $x02$.. $x$ e $x_0$ sono gli stessi anche nella definizione di limite per $f$...

[Darèios89]

Ah, allora l'unica cosa è sistemare la definizione utilizzando le stesse x, per il resto è corretto.
Grazie.

Ma nell'ultima definizione di limite, è corretto scriverep er ogni delta0 che sta per delta segnato?
Voglio dire alla fine della dimostrazione ho messo che si ha la tesi ponendo delta segnato= delta, almeno questa parte è giusta vero?
Nel senso che l'unica cosa che cambia nell'ultima definizione messa nell'ipotesi ci sta il delta segnato?