Funzioni 2 variabili: esercizio max e min assoluti ??
Salve a tutti, ho dei problemi con questo esercizio di analisi 2.
Trovare il massimo e il minimo assoluti assunti dalla funzione
$ f(x,y) = x^2 + y^2 - 3y + xy $
nel cerchio $ {(x,y) € R2 : x^2 + y^2 <= 9 } $
Ho calcolato dapprima le derivate prime della funzione per la ricerca dei punti critici.
f ' x (x,y) = 2x + y
f ' y ( x,y) = 2y -3 + x. Risolvendo questo sistema ottengo
$ { ( 2x+y=0 ),( 2y-3+x=0 ):} $ $ hArr $ $ { ( y=2 ),( x=-1 ):} $
quindi l'unico punto critico è $ P1= (-1,2) $
costruendo la matrice hessiana il punto è di minimo relativo e $ f(p1) = -3 $
Poi ho cercato altri punti sulla frontiera. Ora, il professore non ci ha spiegato il metodo delle linee di
livello, ne tantomeno l'utilizzo del moltiplicatore di lagrange, perchè negli esercizi svolti a lezione
abbiamo sempre parametrizzato la frontiera del dominio descrivendola attraverso una funzione.
Data la natura del dominio ho usato la funzione
$ g (t) = f( 9cost, 9sint) $ con t che varia tra 0 e 2 $ Pi $ quindi ottengo dopo vari calcoli
$ f(9cost, 9 sint) = 81(costsint) - 27 sint + 81 $
A questo punto ho derivato questa funzione g(t) per cercarne gli estremanti e ottengo
$ g ' (t) = 162 (cost)^2 -27cost -81 $ che ho posto maggiore di zero. Tuttavia prima di fare ciò, risolvendo
l'equazione
$ 162 (cost)^2 -27cost -81 = 0 $ ottendo delle soluzioni alquanto strane
$ cost = (1 + - \( \surd 73 \) )/12
E da qui non riesco ad andare avanti
Tra l'altro il libro riporta queste soluzioni
" otteniamo 3 punti critici vincolati sulla frontiera
$ P2 = (3,0) , P3 = (-3/2, (3/2) \( \surd 3 \) ), P4 = (-3/2, - (3/2) \( \surd 3 \)).
Mi aiutate nel continuare l'esercizio ?
Trovare il massimo e il minimo assoluti assunti dalla funzione
$ f(x,y) = x^2 + y^2 - 3y + xy $
nel cerchio $ {(x,y) € R2 : x^2 + y^2 <= 9 } $
Ho calcolato dapprima le derivate prime della funzione per la ricerca dei punti critici.
f ' x (x,y) = 2x + y
f ' y ( x,y) = 2y -3 + x. Risolvendo questo sistema ottengo
$ { ( 2x+y=0 ),( 2y-3+x=0 ):} $ $ hArr $ $ { ( y=2 ),( x=-1 ):} $
quindi l'unico punto critico è $ P1= (-1,2) $
costruendo la matrice hessiana il punto è di minimo relativo e $ f(p1) = -3 $
Poi ho cercato altri punti sulla frontiera. Ora, il professore non ci ha spiegato il metodo delle linee di
livello, ne tantomeno l'utilizzo del moltiplicatore di lagrange, perchè negli esercizi svolti a lezione
abbiamo sempre parametrizzato la frontiera del dominio descrivendola attraverso una funzione.
Data la natura del dominio ho usato la funzione
$ g (t) = f( 9cost, 9sint) $ con t che varia tra 0 e 2 $ Pi $ quindi ottengo dopo vari calcoli
$ f(9cost, 9 sint) = 81(costsint) - 27 sint + 81 $
A questo punto ho derivato questa funzione g(t) per cercarne gli estremanti e ottengo
$ g ' (t) = 162 (cost)^2 -27cost -81 $ che ho posto maggiore di zero. Tuttavia prima di fare ciò, risolvendo
l'equazione
$ 162 (cost)^2 -27cost -81 = 0 $ ottendo delle soluzioni alquanto strane
$ cost = (1 + - \( \surd 73 \) )/12
E da qui non riesco ad andare avanti
Tra l'altro il libro riporta queste soluzioni" otteniamo 3 punti critici vincolati sulla frontiera
$ P2 = (3,0) , P3 = (-3/2, (3/2) \( \surd 3 \) ), P4 = (-3/2, - (3/2) \( \surd 3 \)).
Mi aiutate nel continuare l'esercizio ?
Risposte
Si Tem hai proprio ragione, avevo dimenticato di controllare se il punto (-1,2) appartiene al dominio in questione.
Aspetta quindi la sostituzione corretta è
9 (cost)^2+ 9 (sint)^2 - 3(9sint)+ 9cost9sint?
Perchè io avevo sostituito così---> (9cost)^2+ (9sint)^2 - 3(9sint)+ 9cost9sint
e mi veniva 81(sintcost) - 27 sint + 81 o.O
Aspetta quindi la sostituzione corretta è
9 (cost)^2+ 9 (sint)^2 - 3(9sint)+ 9cost9sint?
Perchè io avevo sostituito così---> (9cost)^2+ (9sint)^2 - 3(9sint)+ 9cost9sint
e mi veniva 81(sintcost) - 27 sint + 81 o.O
Veroooooooooooooooo! Maledetta sessione estiva >.< Ho corretto i calcoli.
Dopo la soostituzione della parametrizzazione nella funzione ottengo
g(t) = 9 costsint -9 sint +9
g'(t) = 18(cost)^2 -9cost - 9
g ' (t) > 0 per
1) cost > 1 ---> MAI
2) cost < -1/2 ----> 2π/3 <= t <= 4π/3. Qundi facendo il grafico dei segni ottengo
---------------------------2π/3++++++++++++++++++++++++4π/3-------------------------2π cioè la 1)
--------------------------------------------------------------------------------------------------- cioè la 2)
quindi facendo il prodotto dei segni ottengo
+ - +
e quindi i punti di massimo sono quelli per cui
t = 2π /3 ---> sostituendo nella parametrizzazione ottengo P4 = (-3/2, - (3/2) √3)
t = 2 π ---> nella parametrizzazione ottengo ------------> P2 (3,0)
Ma perchè ne manca uno? Il testo riporta anche il punto P3 = (-3/2, (3/2) √3 ) come punto di massimo
assunto sulla frontiera
>.< Ho corretto i calcoli.Dopo la soostituzione della parametrizzazione nella funzione ottengo
g(t) = 9 costsint -9 sint +9
g'(t) = 18(cost)^2 -9cost - 9
g ' (t) > 0 per
1) cost > 1 ---> MAI
2) cost < -1/2 ----> 2π/3 <= t <= 4π/3. Qundi facendo il grafico dei segni ottengo
---------------------------2π/3++++++++++++++++++++++++4π/3-------------------------2π cioè la 1)
--------------------------------------------------------------------------------------------------- cioè la 2)
quindi facendo il prodotto dei segni ottengo
+ - +
e quindi i punti di massimo sono quelli per cui
t = 2π /3 ---> sostituendo nella parametrizzazione ottengo P4 = (-3/2, - (3/2) √3)
t = 2 π ---> nella parametrizzazione ottengo ------------> P2 (3,0)
Ma perchè ne manca uno? Il testo riporta anche il punto P3 = (-3/2, (3/2) √3 ) come punto di massimo
assunto sulla frontiera
speriamo !!! 
grazie Tem, si ho capito 
Un'altra cosa.. sempre stessa tipologia di esercizio
$ f (x,y) = 2 (x^2 + y^2 -1) - (x^4 + y^4) $
Trovare massimi e minimi assoluti della funzione nell'insieme
D = { (x,y) € R2 : x^2 + y^2 \( \leq \) 1 }
Ho trovato i punti critici col sistema
\( \begin{cases} 4x-4x^3=0 \\ 4y-4y^3=0 \end{cases} \)
Gli unici accettabili sono questi
$ O = (0,0) , A = (0,-1) , B = (0,1) , C ( -1,0) , D = (1,0) $
Di cui il primo, cioè l'origine è di minimo relativo, mentre gli altri sono sulla frontiera che ho parametrizzato
come per l'esercizio precedente
$ g(t) = f (cost, sint) = 2 (cost)^2 + 2(sint)^2 -2 - (cost)^4 - (sint)^4 = - [ (cost)^4 + (sint)^4 ] $
Da qui come continuo? quella equazione come la risolvo ?
grazie Tem, si ho capito Un'altra cosa.. sempre stessa tipologia di esercizio$ f (x,y) = 2 (x^2 + y^2 -1) - (x^4 + y^4) $
Trovare massimi e minimi assoluti della funzione nell'insieme
D = { (x,y) € R2 : x^2 + y^2 \( \leq \) 1 }
Ho trovato i punti critici col sistema
\( \begin{cases} 4x-4x^3=0 \\ 4y-4y^3=0 \end{cases} \)
Gli unici accettabili sono questi
$ O = (0,0) , A = (0,-1) , B = (0,1) , C ( -1,0) , D = (1,0) $
Di cui il primo, cioè l'origine è di minimo relativo, mentre gli altri sono sulla frontiera che ho parametrizzato
come per l'esercizio precedente
$ g(t) = f (cost, sint) = 2 (cost)^2 + 2(sint)^2 -2 - (cost)^4 - (sint)^4 = - [ (cost)^4 + (sint)^4 ] $
Da qui come continuo? quella equazione come la risolvo ?
Ah dimenticavo.. il libro come soluzioni sulla frontiera riporta
$(-1,0) , (1,0)$ , \( (-1/\surd 2, +-1/\surd 2), (1/\surd 2, +-1/\surd 2) \)
$(-1,0) , (1,0)$ , \( (-1/\surd 2, +-1/\surd 2), (1/\surd 2, +-1/\surd 2) \)
si Tem, hai ragione, scusami XD si ok solo l'origine si trova all'interno di D. Se non ho fatto errori,
$ g ' (t) = - [ 4 (cost)^3(-sint) - 4 (sint)^3 cost ] = [ 4 (cost)^3(sint) + 4 (sint)^3 cost ] = 4costsint [ (cost)^2 + (sint)^2 ]
= 4costsint $
A questo punto devo studiare ove $ g ' (t) $ è positiva? o basta solamente porla = 0 per trovare i punti critici?
$ g ' (t) = - [ 4 (cost)^3(-sint) - 4 (sint)^3 cost ] = [ 4 (cost)^3(sint) + 4 (sint)^3 cost ] = 4costsint [ (cost)^2 + (sint)^2 ]
= 4costsint $
A questo punto devo studiare ove $ g ' (t) $ è positiva? o basta solamente porla = 0 per trovare i punti critici?
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