Funzione2variabili
ciao a tutti..ho questo esercizio:
$\f(x,y)(x^2-2y^2+12y)
devo trovare i punti di massimo e minimo relativo e assoluti in $\D=[x^2+(y-2)^2<=4]
allora,mi sono calcolata il punto critico P(0,3) che è un punto di sella..
ora bisognerebbe calcolare i min e max assoluti in D,ho il primo dubbio..quel dominio li è un ellisse??
poi dovrei calcolare i punti sulla frontiera:
$\(x=rhocos theta),(y=rho sen theta)
ma non avendo capito se è un ellisse o circonferenza non so andare avanti..mi aiutereste?^?
$\f(x,y)(x^2-2y^2+12y)
devo trovare i punti di massimo e minimo relativo e assoluti in $\D=[x^2+(y-2)^2<=4]
allora,mi sono calcolata il punto critico P(0,3) che è un punto di sella..
ora bisognerebbe calcolare i min e max assoluti in D,ho il primo dubbio..quel dominio li è un ellisse??
poi dovrei calcolare i punti sulla frontiera:
$\(x=rhocos theta),(y=rho sen theta)
ma non avendo capito se è un ellisse o circonferenza non so andare avanti..mi aiutereste?^?
Risposte
La butto lì, a me sembra che sia un circonferenza di raggio 2 centrata in (0,-2).
Prova a guardare su wikipedia: http://it.wikipedia.org/wiki/Circonferenza
La formula della generica circonferenza cosa suggerisce? a me sembra sia come ti ho detto io.
Prova a guardare su wikipedia: http://it.wikipedia.org/wiki/Circonferenza
La formula della generica circonferenza cosa suggerisce? a me sembra sia come ti ho detto io.
errata corrige: centrata in 0,+2
Concordo con mrpoint...
Comunque se ti viene più facile puoi prima fare la trasformazione [tex]u=x, v=y-2[/tex] e quindi avere a che fare con una circonferenza centrata nell'origine. Tra l'altro ti conviene perché se non è centrato nell'origine allora la trasformazione che proponi tu [tex]x=\rho \cos\theta, y=\rho \sin\theta[/tex] non va bene. Quella corretta sarebbe [tex]x=\rho \cos\theta, y=\rho \sin\theta-2[/tex] ma secondo me fai meno errori se fai 2 trasformazioni.
Comunque se ti viene più facile puoi prima fare la trasformazione [tex]u=x, v=y-2[/tex] e quindi avere a che fare con una circonferenza centrata nell'origine. Tra l'altro ti conviene perché se non è centrato nell'origine allora la trasformazione che proponi tu [tex]x=\rho \cos\theta, y=\rho \sin\theta[/tex] non va bene. Quella corretta sarebbe [tex]x=\rho \cos\theta, y=\rho \sin\theta-2[/tex] ma secondo me fai meno errori se fai 2 trasformazioni.
si si ho ricontrollato e ho verificato sia una circonferenza..sono stata tratta in inganno da quel $<=4$..l'ho confusa con il raggio della circonferenza ma nn eavevo considerato che la formula prevede r^2..
vabbe,la sostituzuione mi creerebbe piu problemi,in pratica $\x=rhocostheta->x=0costheta->x=0
$\y=2sentheta-2...?
quindi $\theta=arccos(0^2+(2sentheta-2)^2)=arccos(4sen^2theta-8sentheta+4)
ma penso sicuramente ci sia un errore..
vabbe,la sostituzuione mi creerebbe piu problemi,in pratica $\x=rhocostheta->x=0costheta->x=0
$\y=2sentheta-2...?
quindi $\theta=arccos(0^2+(2sentheta-2)^2)=arccos(4sen^2theta-8sentheta+4)
ma penso sicuramente ci sia un errore..
"piccola88":
si si ho ricontrollato e ho verificato sia una circonferenza..sono stata tratta in inganno da quel $<=4$..l'ho confusa con il raggio della circonferenza ma nn eavevo considerato che la formula prevede r^2..
vabbe,la sostituzuione mi creerebbe piu problemi,in pratica $\x=rhocostheta->x=0costheta->x=0
$\y=2sentheta-2...?
quindi $\theta=arccos(0^2+(2sentheta-2)^2)=arccos(4sen^2theta-8sentheta+4)
ma penso sicuramente ci sia un errore..
Scusa me perchè fare tutti quei calcoli ? hai una circonferenza completa, quindi avrai: $0 < \theta < 2\pi$
Anche se non mi torna una cosa, a cosa ti serve trasformare ? tu dovresti solo applicare i moltiplicatori di Lagrange per trovare max e min sul vincolo.
beh in effetti..
vabbe era piu per capire se comunque andava bene il procedimento in modo da poterlo capire per esercizi futuri in cui magari non ho una circonferenza completa..
il fatto di trasformare nn lo so:D
..ora quindi attendo delle correzioni su quei passaggi per ricavarmi $theta$
vabbe era piu per capire se comunque andava bene il procedimento in modo da poterlo capire per esercizi futuri in cui magari non ho una circonferenza completa..
il fatto di trasformare nn lo so:D
..ora quindi attendo delle correzioni su quei passaggi per ricavarmi $theta$
"piccola88":
beh in effetti..
vabbe era piu per capire se comunque andava bene il procedimento in modo da poterlo capire per esercizi futuri in cui magari non ho una circonferenza completa..
il fatto di trasformare nn lo so:D
..ora quindi attendo delle correzioni su quei passaggi per ricavarmi $theta$
Ah ok, comunque non ho proprio capito cosa, dove e come hai sostituito. Intanto ti è stato consigliato di sostituire $x = \rhocos\theta, y = \rhosen\theta - 2$, e tu hai sostituito: $x = \rhocos\theta, y = 2\rhosen\theta - 2$. In qualunque caso li devi sostituire nel VINCOLO, da cui ti puoi ricavare solo la condizione su $\rho$. Non avendo altre condizioni sul vincolo, non hai limitazione sull' angolo, e quindi prendi una rotazione completa.
scusa è stato un errore di scrittura..in $\x=rhocostheta$, $\rho$vale 0,giusto?
mentre in $\y=rhosintheta-2$ ,$\ rho$ vale2..
questo perche in un esercizio con dominio l'ellisse $\x^2/4+y^2/9<=1$ quindi con $\a=2$, $\b=3
$\x=rhocostheta->x=2costheta
$\y=rhosintheta->3sentheta
e quindi ho ricavato $\theta=arccos(((2costheta)^2)/4)+(((3sentheta)^2)/9)
quindi ho pensato di rieseguire gli stessi passaggi
mentre in $\y=rhosintheta-2$ ,$\ rho$ vale2..
questo perche in un esercizio con dominio l'ellisse $\x^2/4+y^2/9<=1$ quindi con $\a=2$, $\b=3
$\x=rhocostheta->x=2costheta
$\y=rhosintheta->3sentheta
e quindi ho ricavato $\theta=arccos(((2costheta)^2)/4)+(((3sentheta)^2)/9)
quindi ho pensato di rieseguire gli stessi passaggi
no, ti ripeto, le trasformazione vanno sostituite nel vincolo, in questo modo:
$\rho^2cos^2\theta + (\rhosen\theta + 2 - 2)^2 <= 4 => \rho^2cos^2\theta + (\rhosen\theta)^2 <= 4 => \rho^2(cos^2\theta + sen^2\theta) <= 4 => \rho^2 <=4$
A questo punto avresti $-2 < \rho < 2$, ma ciò è sbagliato, perchè per difinizione $\rho$ è positivo, quindi $0 < \rho < 2$
Per questo ti avevo detto che dal vincolo puoi ricavare solo $\rho$. Se avessi altre condizioni potresti ricavare altre condizioni per $\theta$, ma non essendo così assumi che la rotazione sia completa.
$\rho^2cos^2\theta + (\rhosen\theta + 2 - 2)^2 <= 4 => \rho^2cos^2\theta + (\rhosen\theta)^2 <= 4 => \rho^2(cos^2\theta + sen^2\theta) <= 4 => \rho^2 <=4$
A questo punto avresti $-2 < \rho < 2$, ma ciò è sbagliato, perchè per difinizione $\rho$ è positivo, quindi $0 < \rho < 2$
Per questo ti avevo detto che dal vincolo puoi ricavare solo $\rho$. Se avessi altre condizioni potresti ricavare altre condizioni per $\theta$, ma non essendo così assumi che la rotazione sia completa.
"stefano_89":
no, ti ripeto, le trasformazione vanno sostituite nel vincolo, in questo modo:
$\rho^2cos^2\theta + (\rhosen\theta + 2 - 2)^2 <= 4 => \rho^2cos^2\theta + (\rhosen\theta)^2 <= 4 => \rho^2(cos^2\theta + sen^2\theta) <= 4 => \rho^2 <=4$
A questo punto avresti $-2 < \rho < 2$, ma ciò è sbagliato, perchè per difinizione $\rho$ è positivo, quindi $0 < \rho < 2$
Per questo ti avevo detto che dal vincolo puoi ricavare solo $\rho$. Se avessi altre condizioni potresti ricavare altre condizioni per $\theta$, ma non essendo così assumi che la rotazione sia completa.
oddio..sono ancora piu confusa
pensavo che i valori di $\rho$li stabilivamo noi in base a come la circonferenza ellisse o quel che sia,intersecava gli assi..invece da questo procedimento che mi hai mostrato $\rho$dobbiamo calcolarcelo,e siamo stati fortunati a trovare$\ (cos^2\theta + sen^2\theta)$ che è uguale ad 1,altrimenti sarebbe rimasta comunque $\theta$come altra incognita insieme a $\rho$
Il fatto che siamo stati fortunato non c' entra molto, con qualsiasi circonferenza a cui applichi le polari succede..
Poi ti faccio notare una cosa, la trasformazione di $y$ ha una addendo $-2$, questo serve per centrare il tuo cerchio nell' origine e cadere proprio in quella situazione che hai detto..
Poi ti faccio notare una cosa, la trasformazione di $y$ ha una addendo $-2$, questo serve per centrare il tuo cerchio nell' origine e cadere proprio in quella situazione che hai detto..
ok,dopo aver parametrizzato la circonferenza:
$\{(x=2costheta),(y=2+2sentheta):}$
ora per trovarmi il punto,conoscendo che $\theta=o,2pi$
devo prima derivarmi x e y?
quindi $\{(x'=-2sentheta),(y'=2costheta):}$ da cui ottengo
$\P=(0,2)$ e quindi $\f(P)=16
è giusto?poi come proseguo?
$\{(x=2costheta),(y=2+2sentheta):}$
ora per trovarmi il punto,conoscendo che $\theta=o,2pi$
devo prima derivarmi x e y?
quindi $\{(x'=-2sentheta),(y'=2costheta):}$ da cui ottengo
$\P=(0,2)$ e quindi $\f(P)=16
è giusto?poi come proseguo?
Non capisco che metodo tu abbia usato, hai per caso cercato di usare i moltiplicatori di Lagrange ?
Comunque ti ripeto, per questo problema non ti serva in alcun modo parametrizzare la curva. Ti imposto il moltiplicatore:
$\{(\nablaf = \lambda\nablag),(g(x,y) = 0):} => \{(f_x = \lambdag_x),(f_y = \lambdag_y),(g(x,y) = 0):}$
Comunque ti ripeto, per questo problema non ti serva in alcun modo parametrizzare la curva. Ti imposto il moltiplicatore:
$\{(\nablaf = \lambda\nablag),(g(x,y) = 0):} => \{(f_x = \lambdag_x),(f_y = \lambdag_y),(g(x,y) = 0):}$
mi spieghi allora il procedimanto da fare in questo esercizio?so che devo trovarmi i punti caratteristici dal gradiente che P(0,3) da cui f(P)=18, e i punti caratteristici sulla frontiera.
mi hanno insegnato a impostare la parametrizzazione della curva,ma in quetsto caso non va bene..
quindi come faccio a trovare il punto caratteristico sulla frontiera?
mi hanno insegnato a impostare la parametrizzazione della curva,ma in quetsto caso non va bene..
quindi come faccio a trovare il punto caratteristico sulla frontiera?
Te l' ho detto, il metodo è quello dei moltiplicatori di Lagrange.
In qualunque caso, se proprio vuoi usare la parametrizzazione, deivi sostituirla nella $f(x,y)$ e dopo derivare $f(x,y)$, in questo trovi dei valori di $\theta$. Infine sostituirai tali valori nella parametrazzione trovando coppie $(x.y)$
In qualunque caso, se proprio vuoi usare la parametrizzazione, deivi sostituirla nella $f(x,y)$ e dopo derivare $f(x,y)$, in questo trovi dei valori di $\theta$. Infine sostituirai tali valori nella parametrazzione trovando coppie $(x.y)$
scusami,mi sa che ti devo una cena per tutto il tempo che mi stai dedicando..
Mica mi potresti scrivere lo svolgimento numerico cosi capisco una volta per tutte?non con i moltiplicatori di lagrange perche non credo li ho fatti..
scusami
Mica mi potresti scrivere lo svolgimento numerico cosi capisco una volta per tutte?non con i moltiplicatori di lagrange perche non credo li ho fatti..
scusami
Allora, metti la parametrizzazione nella funzione, ottieni: $f(\theta) = (2cos\theta)^2 -2(2 + 2cos\theta)^2 + 12(2 + 2cos\theta)$
Ora, sviluppi tutto, e derivi ottenendo una $f'(\theta)$. Per trovare i punti critici fai come in analisi 1, cioè poni la derivata uguale a zero, quindi: $f'(\theta) = 0$.
Otterrai 2 valori di $\theta$, li sostituisci (uno alla volta) nella parametrizzazione e ti trovi i valori di x e y.. ok ?
Ora, sviluppi tutto, e derivi ottenendo una $f'(\theta)$. Per trovare i punti critici fai come in analisi 1, cioè poni la derivata uguale a zero, quindi: $f'(\theta) = 0$.
Otterrai 2 valori di $\theta$, li sostituisci (uno alla volta) nella parametrizzazione e ti trovi i valori di x e y.. ok ?
$\f(\theta) = (2cos\theta)^2 -2(2 + 2cos\theta)^2 + 12(2 + 2cos\theta)=4cos^2theta-8-8cos^2theta-8costheta+24+24costheta
derivando ottengo:$\-4sentheta(costheta+1)=0->theta=0,pi
ottengo quindi$\{(x=2cos0),(2+2sen0):}->{(x=2),(y=2):}->f(P_1)=20
$\{(x=2cospi),(2+2senpi):}->{(x=-2),(y=2):}f(P_2)=20
sperando che sia riuscita a svolgere bene i calcoli,ora che si fa?l'esercizio è finito oppure si devono considerare altri punti caratteristici sulla frontiera?
derivando ottengo:$\-4sentheta(costheta+1)=0->theta=0,pi
ottengo quindi$\{(x=2cos0),(2+2sen0):}->{(x=2),(y=2):}->f(P_1)=20
$\{(x=2cospi),(2+2senpi):}->{(x=-2),(y=2):}f(P_2)=20
sperando che sia riuscita a svolgere bene i calcoli,ora che si fa?l'esercizio è finito oppure si devono considerare altri punti caratteristici sulla frontiera?
quoto cosi magari mi aiuta qualcuno..
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