Funzione Zeta
Scusate non capisco un passaggio del mio testo, con $zeta(2)$ intendo la funzione Zeta di Rimann che sappiamo essere
$ zeta(2)=sum_(n=1)^oo 1/n^2=pi^2/(6)$
Il passaggio oscuro è questo:
$3/4 zeta(2)=sum_(n=1)^oo 1/n^2-sum_(n=1)^oo 1/(2m)^2=sum_(n=1)^oo 1/(2r+1)n^2$.
Grazie.
$ zeta(2)=sum_(n=1)^oo 1/n^2=pi^2/(6)$
Il passaggio oscuro è questo:
$3/4 zeta(2)=sum_(n=1)^oo 1/n^2-sum_(n=1)^oo 1/(2m)^2=sum_(n=1)^oo 1/(2r+1)n^2$.
Grazie.
Risposte
Mmmm... Forse hai scritto male.
Basta un po' d'algebra... Hai:
\[\begin{split} \frac{3}{4}\ \zeta (2) &=\left( 1-\frac{1}{4}\right)\ \sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n^2} \\ &=\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n^2} -\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{(2n)^2} \\ &= \sum_{n \in \mathbb{N}} \frac{1}{n^2}-\sum_{n \text{ pari}} \frac{1}{n^2}&= \sum_{n \text{ dispari}} \frac{1}{n^2}\; .\end{split}\]
Basta un po' d'algebra... Hai:
\[\begin{split} \frac{3}{4}\ \zeta (2) &=\left( 1-\frac{1}{4}\right)\ \sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n^2} \\ &=\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n^2} -\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{(2n)^2} \\ &= \sum_{n \in \mathbb{N}} \frac{1}{n^2}-\sum_{n \text{ pari}} \frac{1}{n^2}&= \sum_{n \text{ dispari}} \frac{1}{n^2}\; .\end{split}\]
Hai ragione Gugo l'ultima ugualianza è scritta male 
$sum_(r=0) ^oo 1/(2r+1)^2$
L'ultimo passaggio non lo capisco, come deduco che:
$sum_(n=1)^(oo) 1/(n^2)-sum_(m=1)^oo 1/(2m)^2=sum_(r=0) ^oo 1/(2r+1)^2$
Grazie
$sum_(r=0) ^oo 1/(2r+1)^2$
L'ultimo passaggio non lo capisco, come deduco che:
$sum_(n=1)^(oo) 1/(n^2)-sum_(m=1)^oo 1/(2m)^2=sum_(r=0) ^oo 1/(2r+1)^2$
Grazie
ok, grazie non mi tornava la serie perchè partisse da $0$ invece che da $1$ ma ma usando $2r+1$ cioè i dispari è giusto farla partire da $0$.
Grazie ad entrambi
Grazie ad entrambi
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