Funzione x,y in regione A

[Brancaleone1]

Ciao a tutti
Ho la funzione

\(\displaystyle f(x,y)= \begin{cases} \frac{ye^x-xe^y}{\sqrt{x^2+y^2}} & (x,y) \ne (0,0) \\ 0 & \text{altrove} \end{cases} \)

Devo verificare se la funzione è limitata nel suo dominio e nella regione

$A={(x,y) in mathbb(R)^2:0 <= x <= 1 ; 0 <= y <= x^2}$

$A$ dovrebbe essere quella in figura


Per controllare se è limitata in tutto il suo dominio pongo $y=-x$ e calcolo il limite per $x to -infty$, ottenendo

$Rightarrow lim_(x to -infty)(-xe^x-xe^(-x))/(sqrt(x^2+(-x)^2))=(-x(e^x+e^(-x)))/(sqrt(2)|x|)=(-x(e^x+e^(-x)))/(-sqrt(2)x)=((e^x+e^(-x)))/(sqrt(2))=+infty$

e quindi $f$ non è limitata in tutto il dominio.

Per verificare invece se è limitata in $A$ non so come fare: $A$ è sì chiusa e limitata, però $f$ non è continua in $(0,0)$

Infatti

per $y=x$

$lim_(x to 0^+)(xe^x-xe^x)/(sqrt(x^2+x^2))=0$

per $y=x^2$

$lim_(x to 0^+)(x^2e^x-xe^(x^2))/(sqrt(x^2+x^4))=lim_(x to 0^+)(x(xe^x-e^(x^2)))/sqrt(x^2)=(xe^x-e^(x^2))=-1$

$Rightarrow$ il limite non esiste

e quindi non posso impiegare il teorema di Weierstrass. Quale altra strada posso prendere?

[Sk_Anonymous]

$\{(x=rcostheta),(y=rsintheta):} rarr$

$rarr [f(r,theta)=(rsinthetae^(rcostheta)-rcosthetae^(rsintheta))/r] rarr$

$rarr [f(r,theta)=(r(sinthetae^(rcostheta)-costhetae^(rsintheta)))/r] rarr$

$rarr [f(r,theta)=sinthetae^(rcostheta)-costhetae^(rsintheta)]$

$[r<=1] rarr [|sinthetae^(rcostheta)-costhetae^(rsintheta)|<=|sintheta|e^(rcostheta)+|costheta|e^(rsintheta)<=2e]$

[Rigel1]

@speculor: segnalo solo un piccolo dettaglio; nell'ultimo passaggio non si ha \(r\leq 1\) ma \(r\leq \sqrt{2}\) (ovviamente questo non altera il ragionamento).

In alternativa, per \((x,y)\in A\setminus \{(0,0)\}\):
\[
|f(x,y)| \leq \frac{|y|}{\sqrt{x^2+y^2}} e^x + \frac{|x|}{\sqrt{x^2+y^2}} e^y \leq e^x + e^y \leq 2e.
\]

[Sk_Anonymous]

@Rigel
Ovviamente hai ragione. Correggo:

$[r<=sqrt2] rarr [|sinthetae^(rcostheta)-costhetae^(rsintheta)|<=|sintheta|e^(rcostheta)+|costheta|e^(rsintheta)<=2e^sqrt2]$

In ogni modo, molto meglio il tuo procedimento. Insomma, non era necessario passare a coordinate polari. Grazie per il tuo contributo.