Funzione utilizzata in teoria partizioni unità

[DavideGenova1]

Ciao, amici! Sia \(\varphi:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\) la funzione di classe \(C^{\infty}\) definita da\[\varphi(x)=\begin{cases} e^{-x^{-2}}&x>0\\0&x\leq 0\end{cases}\]Sia \(\zeta:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\) la funzione di classe \(C^{\infty}\) definita -con $a Ora, il mio testo -di geometria, il Sernesi, ma chiedo qui per la natura analitica, direi, del problema- dice che, se \(U\ne\mathbb{R}^N\) è un aperto di \(\mathbb{R}^N\) e \(K\subset U\) un insieme compatto non vuoto (quindi direi chiuso e limitato), la funzione \(f:\mathbb{R}^N\to\mathbb{R}\) definita, ponendo $a=0$ e \(b=\frac{d(K,\mathbb{R}^N\setminus U)}{2}\), da\[f(\mathbf{x})=\zeta (d(\mathbf{x},\mathbb{R}^N\setminus U)-b)\]ha supporto compatto contenuto in $U$, ha valori in $[0,1]$ e \(\forall\mathbf{x}\in K\text{ }f(\mathbf{x})=1\).
A me la cosa che non torna è che \(\text{supp}(f)\) sia necessariamente compatto, che credo equivalga, in \(\mathbb{R}^N\), a chiuso e limitato. Infatti se prendo \(\mathbb{R}^N=\mathbb{R}\) e $K=[\alpha,\beta]$ contenuto in \(U=(\alpha-1,+\infty)\) mi pare che \(\text{supp}(f)=[\alpha-\frac{1}{2},+\infty)\) che non mi pare proprio compatto. Che ne dite?
Ponendo invece sempre $a=0$ e\[f(\mathbf{x})=\zeta \Big(-d(\mathbf{x},K)+\frac{d(K,\mathbb{R}^N\setminus U)}{2}\Big)\]mi pare che i conti tornino: che cosa ne pensate?
\(+\infty\) grazie a tutti!!!

[j18eos]

Mi rifiuto di capire il Sernesi... queste stesse cose (a iniziare da quella brutta funzione) le ho studiate sul Chern - Chen - Lam Lectures on Differential Geometry, ed è pure intuitivo nello spiegarle!

Se così posso esserti utile; altrimenti prova a scartabellare Spivak A comprehensive introduction to differntial geometry (il primo dei primi 5 voll.)

[DavideGenova1]

Fa piacere incontrarti anche da queste parti, Armando!
Se lo dici tu che il testo che sto seguendo ha di queste cose strane...
Oltretutto la distanza \(d(\mathbf{x},\text{qualcosa})\) che si compone con funzioni di classe $C^{\infty}$ come $\zeta$ per dare $f$ di classe $C^{\infty}$ non sono neppure sicuro che sia di questa classe, per cui mi diventa nebuloso comprendere anche perché $f$ sia di classe $C^{\infty}$...
Grazie per i consigli bibliografici!!!