Funzione strettamente crescente

[stelladinatale1]

Salve a tutti!
Non riesco a capire una cosa che in teoria dovrebbe essere molto semplice.
Ho una funzione $F(s)$ strettamente convessa e continua nell'intervallo $[0,1]$.
Definisco la funzione $G(s)$ per $s\in\[0,1)$ nel seguente modo:
$G(s)=\frac{1-F(s)}{1-s}$

Il testo su cui sto studiando dice che la funzione $G(s)$ è strettamente crescente e continua in $[0,1)$

Per quanto rigarda la continuità di $G$ in $[0,1)$ è ovvio, dipende dalla continuità di $F$.

Il problema è che non riesco a capire come mai $G(s)$ dovrebbe essere una funzione strettamente crescente.

So che:
$G'(s)=\frac{-F'(s)(1-s)+1-F(s)}{(1-s)^2}$
il fatto che $F(s)$ è strettamente convessa mi dice che $F''(s)>0$ ma questo come può aiutarmi a dimostrare che $G'(s)>0$?


P.S. Non so se può aiutare comunque la funzione $F(s)$ è la funzione generatrice di una variabile aleatoria $X$.

[Rigel1]

La stretta convessità di $F$ ti dice che $F(1) > F(s) + F'(s)(1-s)$ per ogni $s\in [0,1)$.
Se $F(1) = 1$ mi sembra che tu sia a posto.

[stelladinatale1]

Si, hai proprio ragione, non ci avevo pensato!
Grazie!