Funzione sommabile e illimitata

[fran881]

Ciao. Ho un esercizio che mi chiede di esibire una funzione sommabile su R (secondo Lebesgue) e illimitata sul complementare di ogni compatto.
So dall'esercizio precedente che se una funzione è sommabile su R allora $AA epsilon>0$ $EE K$ compatto tale che $int_(K^C)|f|dx Grazie per eventuali suggerimenti.

[adaBTTLS1]

prendi quello che ti sto per dire con le giuste riserve, ma controlla bene la teoria...
mi pare di ricordare che la limitatezza di una funzione debba valere "quasi ovunque"...
in tal caso dovresti riuscire a trovare un insieme a misura nulla ove la funzione non sia limitata... però in ogni caso non ti posso aiutare di più: questo insieme dovrebbe contenere almeno un elemento per ogni intersezione di esso con il complementare di qualsiasi compatto...
ciao.

[fran881]

Ok allora la cosa più semplice è prendere una funzione sommabile qualunque e ridefinire le immagini dei naturali come f(n)=n. Mi sembra che funzioni perchè N è di misura nulla quindi non altera la somma totale ma siccome in R un compatto è limitato per qualsiasi compatto consideri c'è una sottosuccessione dei naturali che sta fuori dal compatto e su cui la funzione diverge. Right?!
Cmq grazie!!!

[ViciousGoblin]

Quello che dice fran88 è corretto, ma si può anche trovare una funzione integrabile che sia "essenzialmente" illimitata
fuori da ogni compatto

Prendi $f(x)=n$ per $n\leq x\leq n+\frac{1}{n^3}$ (e zero altrove). Se ti fai dei semplici calcoli vedi che $\int_0^{+\infty} f=\sum_{n=1}^\infty\frac{1}{n^2}<+\infty$,
ma qualunque sia $n$ trovi un insieme di misura positiva su cui $f\geq n$