Funzione sommabile alla lebesgue
ciao a tutti!
ho la funzione $1/( x^3y^3 )$, come faccio a capire se è sommabile alla lebesgue su R2? qualcuno mi aiuta? thanks
ho la funzione $1/( x^3y^3 )$, come faccio a capire se è sommabile alla lebesgue su R2? qualcuno mi aiuta? thanks
Risposte
Dovresti controllare l'ordine di infinito - infintesimo.
Mi spiego meglio.
Se f(x) e' una funzione e x e' un punto di R^n per vedere se e' sommabile devi controllare che:
f vada a zero come 1 / || x ||^q con q > n quando ||x|| va all'infinito.
f vada all'infinito al massimo come 1 / ||x||^k con k < n quando ||x|| va a zero.
Se f ha dei punti in cui va all'infinito anche fuori dall'origne il discorso non cambia, basta controllare l'ordine di infinito.
Nel tuo caso credo che la funzione non sia sommabile nell'intorno dell'origine: x^3 * y^3 = o ( || (x,y) ||^2 ). Quindi x^3 y^3 va' a zero con ordine maggiore di 2. Per avere la convergenza dell'integrale avresti dovuto avere un ordine strettamente minore di 2.
PS: ||.|| e' la norma in R^n.
PS2: Le funzioni del tipo 1 / polinomi(x,y) definite su tutto R^n non sono mai sommabili! Infatti o le cose vanno male vicono all'origne o la funzione non cala abbastanza all'infinito...
Mi spiego meglio.
Se f(x) e' una funzione e x e' un punto di R^n per vedere se e' sommabile devi controllare che:
f vada a zero come 1 / || x ||^q con q > n quando ||x|| va all'infinito.
f vada all'infinito al massimo come 1 / ||x||^k con k < n quando ||x|| va a zero.
Se f ha dei punti in cui va all'infinito anche fuori dall'origne il discorso non cambia, basta controllare l'ordine di infinito.
Nel tuo caso credo che la funzione non sia sommabile nell'intorno dell'origine: x^3 * y^3 = o ( || (x,y) ||^2 ). Quindi x^3 y^3 va' a zero con ordine maggiore di 2. Per avere la convergenza dell'integrale avresti dovuto avere un ordine strettamente minore di 2.
PS: ||.|| e' la norma in R^n.
PS2: Le funzioni del tipo 1 / polinomi(x,y) definite su tutto R^n non sono mai sommabili! Infatti o le cose vanno male vicono all'origne o la funzione non cala abbastanza all'infinito...
grazie mille. ora ho capito tutto!
si ma adesso che ci penso... questo non mi dice solo che non è integrabile in senso generalizzato? mi dice che non è nemmeno integrabile alla lebesgue?
Si le scale di integrabilità delle potenze sono le stesse per Riemann e Lebesgue...
Anzi ci sono funzioni integrabili in senso generalizzato secondo Riemann, ma non secondo Lebesgue...
Anzi ci sono funzioni integrabili in senso generalizzato secondo Riemann, ma non secondo Lebesgue...
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